§ 10.8. Сила Лоренца

Выражение (5л16) для силы, испытываемой проводником с током в магнитном поле, положенное в основу определения B, может быть преобразовано к виду, позволяющему понять механизм ее появления. Для этого рассмотрим отрезок цилиндрического проводника длины l и сечения S с квазилинейным током I и напишем цепочку очевидных равенств

F = I [l, B] = [Il, B] = [ jSl, B] = Sl [ j, B], (13)

где j – плотность тока, параллельная, очевидно, l (из определения векторного произведения следует, что скаляр можно вносить под его знак и выносить оттуда). Но плотность тока j выражается через концентрацию носителей n, их заряд q и среднюю скорость упорядоченного движения u:

j = qnu³⁶, (14)

что после подстановки в (13) дает

F = Slqn[u, B] = Nq[u, B], (15)

где N – число движущихся частиц в объеме проводника Sl. Таким образом, сила F, испытываемая отрезком проводника с током, оказывается пропорциональной числу движущихся в нем зарядов. Совершенно естественно предположить, что она приложена именно к этим движущимся зарядам, равномерно распределяясь между ними. За счет столкновений их с неподвижными ионами она «передается» последним и с макроскопической точки зрения воспринимается как сила, действующая на весь проводник. Из сделанного предположения следует, что на каждый движущийся заряд действует сила

F_л = q[v, B], (16)

где v – истинная скорость заряда (включая и тепловую): ведь тепловые скорости благодаря своей хаотичности вклада в (15) все равно не дадут.

Опыты, проведенные со свободно движущимися зарядами (например с электронными или ионными пучками), позволяющие непосредственно определить испытываемую ими силу, подтверждают верность формулы (16), причем она остается справедливой не только в постоянном, но и в переменном магнитных полях. Сила, определяемая выражением (16), называется силой Лоренца³⁷.

Как видно из (16), сила Лоренца перпендикулярна скорости заряда (и индукции магнитного поля), а потому работа ее над движущейся частицей всегда равна нулю. Таким образом, магнитное поле не может разогнать или затормозить эту частицу, а способно лишь искривить ее траекторию³⁸.

Пример. Электрон «встреливается» в однородное магнитное поле B перпендикулярно линиям индукции. Описать его движение.

Рис. 11.

Так как начальная скорость электрона v  B, то движение его будет происходить в перпендикулярной полю плоскости (рис. 11). Действительно, сила Лоренца всегда перпендикулярна полю, а потому продольная ее составляющая равна нулю. Не может появиться, следовательно, и продольная составляющая скорости. Далее, так как в магнитном поле всегда v = const и v  B, то F_л = qvB = const.

Таким образом, электрон будет двигаться с постоянной по модулю скоростью под действием постоянной по величине силы, перпендикулярной скорости. Это – движение по окружности. Записывая второй закон Ньютона для этого движения, получим

= evB,

или

m²r = erB,

где r – радиус окружности, а  – угловая скорость (круговая, или так называемая циклотронная, частота вращения). Из второго соотношения следует, что циклотронная частота вращения электрона

 =

определяется лишь величиной магнитного поля и не зависит от скорости электрона³⁹. Из первого равенства радиус вращения

r =

и увеличивается с ростом v. Отметим, что на постоянстве циклотронной частоты основана работа одного из типов ускорителей частиц – циклотрона.