§5. Линейное пространство

1^о. Определение и простейшие свойства

Пусть дано множество элементов, называемых векторами и обозначаемых латинскими буквами . Введем на алгебраическую операцию сложения, которая каждой паре элементов ставит в соответствие третий элемент , называемый суммой и и обозначаемый , а также операцию умножения вектора на действительное число, которая и R ставится в соответствие вектор , называемый произведением вектора на скаляр и обозначаемый

Определение 1. Множество вместе с заданными на нем операциями сложения векторов и умножения вектора на скаляр называется линейным (векторным) пространством над множеством действительных чисел R, если удовлетворяются следующие аксиомы:

1) ассоциативность сложения, т.е. выполняется

2) коммутативность сложения, т.е. выполняется

3) существование нулевого вектора, т.е. вектор , называемый нулевым, такой что выполняется

4) существование противоположного вектора, т.е. , называемый противоположным к a, такое что

5) умножение на R не изменяет , т.е. .

6) R .

7) умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения скаляров, т.е. R .

8) умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов, т.е. R .

Обозначение. R

Замечание 1. Нулевой вектор , вводимый в аксиоме 3), единственен.

Упражнение. Доказать, что нулевой вектор единственен.

Замечание 2. Противоположный вектор, вводимый в аксиоме 4) для каждого вектора , единственный и обозначается .

Упражнение. Доказать, что противоположный вектор единственен.

Замечание 3. уравнение имеет единственное решение , называемое разностью и .

Примеры.

1. Если , то R имеем R − векторное пространство, называемое нулевым.

2. (R , R − векторное пространство вещественных чисел.

3. Множество R матриц размера образует векторное пространство (R R .

4. Множество непрерывных на функций образует векторное пространство .

5. – n-мерное координатное пространство (или арифметическое пространство), элементами которого являются упорядоченные наборы из n чисел: . Операции определены следующим образом:

;

.

Упражнение. Проверить выполнение аксиом векторного пространства.

Свойства линейного пространства.

1) R выполняется .

2) R выполняется .

3) R выполняется .

4) R выполняется .

5) .

6) .

7) .

Доказательство.

1. Так как в силу аксиомы 8) R имеем . Аналогично, R имеем .

2. В силу аксиомы 8) имеем в силу разности векторов .

3. Следует из свойства 2) при .

4. Доказывается аналогично.

5. Если и , то умножая это равенство на получаем: и . Т.о., если , то . Обратное утверждение следует из свойства 1).

6. Из .

7. Аналогично. ■

2^о. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Это понятие является обобщением понятия линейной зависимости строк.

Определение 2. Линейной комбинацией векторов с коэффициентами R называется выражение вида: .

Определение 3. Вектора называются линейно зависимыми, если R, из которых хотя бы одно отлично от нуля, и линейная комбинация с этими является нулевым вектором V, т.е. . Вектора , не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Другими словами, называются линейно независимыми, если их линейная комбинация является нулевым элементом V лишь при условии, что

Теорема 1.

1) Для того, чтобы элементы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов был линейной комбинацией остальных.

2) Если среди один элемент нулевой, то они линейно зависимы.

3) Если часть элементов множества линейно зависима, то и все элементы линейно зависимы.

Доказательство.

1. Аналогично доказательству из §4 для строк.

2. Если и – любое, например, - линейно зависимы.

3. Если – линейно зависимы, то одновременно неравные нулю, так что и хотя бы одно из отлично от нуля - линейно зависимы. ч.т.д.

Пример. Рассмотрим линейное пространства и докажем, что n элементов из вида , ,…, линейно независимы, а добавление еще одного элемента приводит к линейно зависимой системе. Действительно, рассмотрим линейную комбинацию с . Имеем . Вектор справа равен нулю, если все , т.е. – линейно независимы.

Добавим . Тогда по теореме 1, п. 1, достаточно показать, что x – линейная комбинация . Действительно, .

3^о. Базис линейного пространства и координаты вектора в базисе.

Определение 5. Совокупность векторов называют базисом в , если

1. вектора – линейно независимы;

2. для найдутся . (1)

При этом равенство (1) называется разложением элемента по базису , а называются координатами относительно базиса .

Теорема 2 (о единственности разложения по базису). Любой элемент может быть единственным образом разложен по базису , т.е. координаты вектора относительно базиса определяются однозначно.

Доказательство. Пусть и . Тогда . В силу линейной независимости , что и требовалось доказать.

Теорема 3 (операции над векторами, заданными своими координатами). При сложении любых двух векторов и их координаты (относительно любого фиксированного базиса в ) складываются; при умножении на , все координаты вектора умножаются на это число.

Доказательство. Пусть – базис в , , . Тогда в силу аксиом линейного пространства , . В силу единственности разложения по базису что теорема доказана.

Примеры.

1. Базис в R – любое ненулевое число.

2. . Базис образуют матрицы , , …, с одним единичным элементом.

3. – см. выше.

4^о. Размерность линейного пространства.

Определение 6. Линейное пространство называется n–мерным, если

1) в нем n линейно независимых векторов;

2) векторов линейно зависимы.

Тогда n называется размерностью и обозначается .

Определение 7. Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем любое число линейно независимых векторов.

Выясним связь между понятием базиса и размерности линейного пространства.

Теорема 4. Если – линейное пространство размерности n, то линейно независимых векторов этого пространства образуют его базис.

Доказательство. Пусть – система n линейно независимых векторов из . Если – любой вектор из , то по определению 6, вектора – линейно зависимы, т.е.

и среди есть хотя бы одно отличное от нуля. Очевидно, что (т. к. иначе – линейно зависимы)

, т.е.

– линейная комбинация т. к. – произвольный, то –базис.

Теорема  5. Если имеет базис, состоящий из n элементов, то .

Доказательство. Пусть – базис в . Достаточно показать, что векторов линейно зависимы. Разложим их по базису:

,

…

,

где R.

Очевидно, что линейная зависимость векторов эквивалентна линейной зависимости строк матрицы

.

Но строки этой матрицы заведомо линейно зависимы, т. к. порядок базисного минора не превосходит n и хотя бы одна из строк не является базисной, и по теореме о базисном миноре представляет собой линейную комбинацию базисных строк (а стало быть и остальных).

Примеры.

1. R .

2. .

3. .

4. .

5^о. Изоморфизм линейных пространств.

Здесь будет показано, что линейные пространства одной и той же размерности в смысле некоторых свойств, связанных с введенными операциями, не отличаются друг от друга.

Определение 8. Два произвольных линейных пространства V и над множеством действительных чисел R называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимнооднозначное соответствие так, что если векторам отвечают соответственные вектора , то вектору отвечает вектор , а вектору при R отвечает вектор .

Свойства изоморфных пространств.

1. Нулевому элементу V соответствует нулевой элемент и наоборот.

Доказательство: Если .

2. Если элементам соответствуют , то линейная комбинация векторов равна нулю V, т.е. линейная комбинация с теми же коэффициентами равна нулю, т.е. .

Доказательство следует из 1.

3. Если V и изоморфны, то максимальное число линейно независимых векторов в каждом из пространств одно и тоже, т.е. два изоморфных пространства имеют одну и туже размерность.

4. Пространства разных размерностей не могут быть изоморфными.

Теорема 6. Любые два –мерных линейных пространства V и над множеством действительных чисел R изоморфны.

Доказательство. Выберем в V базис ­­­− базис Каждому элементу , поставим в соответствие элемент с теми же координатами в базисе .

Однако это соответствие взаимнооднозначно, т.к. имеет единственным образом определенные координаты , которые в свою очередь, определяют единственный элемент .

В силу равноправности V и , соответствует единственный . Легко видеть, что если в силу введенного соответствия.

Таким образом, все линейные пространства данной размерности над множеством действительных чисел R изоморфны, то есть их свойства, связанные с линейными операциями неразличимы.

6^о. Преобразование координат вектора при изменении базиса векторного пространства.

Пусть в –мерном векторном пространстве даны два базиса и . Каждый из векторов разложим по базису :

,

(2)

или, кратко,

.

(3)

Координаты разложения векторов «нового» базиса по старому запишем в виде матрицы

,

столбцами которой являются координаты векторов в базисе . Поэтому столбцы матрицы линейно независимы и значит .

Определение 9. Матрица, –ый столбец которой состоит из координат вектора в базисе , называется матрицей перехода от базиса к базису .

Если ввести в рассмотрение матрицы–строки и , то формулы (3) можно переписать в виде

.

Так как , то , т.е. − матрица перехода от к .

Теорема 7. Пусть в задан базис . Тогда любая матрица : , является матрицей перехода от к некоторому другому базису .

Доказательство. Так как , то столбцы линейно независимы они служат координатами линейно независимых векторов, которые можно выбрать в качестве нового базиса в .

Теперь рассмотрим, как связаны координаты вектора в различных базисах. Пусть вектор имеет координаты и в базисах и соответственно, т.е.

и .

В силу , откуда в силу единственности разложения по базису имеем .

Пример. Пусть рассматриваются вектора на плоскости и пусть . Пусть новый базис получается из старого поворотом на угол против часовой стрелки. Тогда , и матрица перехода имеет вид:

.

Поэтому

.