Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
44
Добавлен:
02.05.2014
Размер:
366.08 Кб
Скачать

Уфимский государственный авиационный технический университет

Кафедра теоретической механики

Расчетно-графическая работа №3

«Динамика точки»

1064 03 05 07 000

Выполнил: студент группы ИИТ-137

Зинатуллин И.Р.

Проверил: профессор Терешин В.Г.

УФА 2007

Задание №1(Д1). Интегрирование дифференциальных

уравнений движения материальной точки,

находящейся под действием постоянных сил.

Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом, в течение τ с. Его начальная скорость vА. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f.

В точке В тело покидает плоскость со скоростью vВ и попадает со скоростью vC в точку С плоскости ВD, наклонённой под углом β к горизонту, находясь в воздухе Т с.

При решении задачи тело принять за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Данные:

α

vА, м/с

l, м

τ, с

β

300

0

9,8

3

450

Определить f и vC.

Решение:

Составим дифференциальное уравнение движения тела на участке АВ:

mx1=Σ Xi1; mx1=G∙sin α - F;

F=f∙N; N=G∙cos α;

mx1=G∙sin α - f∙G∙cos α , или

x1=g∙sin α - f∙g∙cos α ; =>

x1=g(sin α - f∙cos α )t+C1;

x1=[g(sin α - f∙cos α )/2]t2+C1t+C2.

При t=0 x10=0; x10=0, значит

x10=C1; x10=C2; =>

C1=0; C2=0.

Тогда

x1=g(sin α - f∙cos α )t;

x1=[g(sin α - f∙cos α )/2]t2.

Для момента τ, когда тело покидает участок АВ

x1=vВ; x1=l;

vВ= g(sin α - f∙cos α )τ; l=[g(sin α - f∙cos α )/2]τ2,

откуда vВ=2∙l /τ, т.е. vВ≈6,5 (м/с).

Составим дифференциальное уравнение движения тела на участке ВС:

mx=0; my=G.

При t=0 x0=0; y0=0; x0=vB∙cos α; y0=vB∙sin α.

Дважды проинтегрировав эти дифференциальные уравнения, получим:

x=С3; y=gt+С4;

x=C3t+C5; y=gt2/2+C4t+C6.

Тогда

x03; y04;

x05; y06.

Значит

С3=vB∙cos α; С4=vB∙sin α;

С5=0; С6=0.

x=vB∙cos α; y=gt+vB∙sin α;

x=vB∙cos α∙t; y=gt2/2+vB∙sin α∙t.

Уравнение траектории имеет вид:

y=gx2/(2vB2cos2α)+x tg α.

Т.к. β=450, то в момент падения тела h=d, т.е. x=y:

y=x,

y=gx2/(2vB2cos2α)+x tg α.

Решением этой системы будет

x=2,7,

y=2,7.

Из уравнения y=gt2/2+vB∙sin α∙t, найдем время полета Т:

gT2/2+vB∙sin α∙T-y=0;

gT2/2+vB∙sin α∙T-2,7=0,

откуда Т0,48(с). _____

vC=√x2+y2 ;

______________________

vC=√( vB∙cos α)2+( gT+vB∙sin α)2,

откуда vC9,7(м/с).

С помощью теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки найдем коэффициент трения f:

mvB2/2-mvA2/2=Σ Ai=-f∙G∙cos α∙l+ G∙l∙sin α;

mvA2/2=0.

mvB2/2=-f∙G∙cos α∙l+ G∙l∙sin α.

Выразим f:

f=tg α-vB2/(2∙g∙l∙cos α).

f=0,33.

Ответ: f≈0,33, vC≈9,7(м/с).

Задание №2(Д6). Применение основных теорем динамики к исследованию движения материальной точки.

Шарик, принимаемый за материальную точку, движется из положения А внутри трубки, ось которой расположена в вертикальной плоскости. Найти скорость шарика в положениях В и С и давление NC шарика на стенку трубки в положении С. Трением на криволинейных участках траектории пренебречь.

Данные:

m, кг

vA, м/с

, с

R, м

f

α, град

0,1

8

1,5

2,0

0,20

30

Решение:

С помощью теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки определим vB и vC:

mvB2/2-mvA2/2=Σ Ai=-f∙N∙l, где l-длина участка АВ;

l=vA∙ -aτ2/2, где а –ускорение.

Ускорение можно определить из выражения:

m∙a=f∙N=f∙m∙g, откуда a=f∙g.

Подставив всё в первоначальное выражение, получим:

mvB2/2-mvA2/2=-f∙m∙g(vA∙τ-f∙g∙τ2/2);

vB2/2-vA2/2=-f∙g(vA∙τ-f∙g∙τ2/2);

vB2=vA2- 2∙f∙g∙τ∙vA+()2=(vA-f∙g∙τ)2;

vB=vA-f∙g∙τ, откуда vB≈5,1(м/с).

mvС2/2-mvВ2/2=Σ Ai=G∙R-G∙R∙cos α=G∙R(1-cos α);

vС2-vВ2=2∙g∙R(1-cos α);

vС2=2∙g∙R(1-cos α)+vВ2;

_______________

vС=√2∙g∙R(1-cos α)+vВ2, откуда vС≈5,6(м/с).

Для определения NC используем принцип Даламбера:

G+NC+Ф=0;

Ф=Фnτ.

Сумма проекций сил G, NC и Ф на ось x должна быть равна нулю:

NC+G∙cos α-Ф=0;

NC=Ф-G∙cos α=mvC2/R-G∙cos α, откуда NC≈0,72(H).

Ответ: vB≈5,1(м/с), vС≈5,6(м/с),NC≈0,72(H).

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.