Самостоятельная работа № 2. Геометрический и механический смысл производной.

Цель работы: обобщить и систематизировать знания, умения и навыки по теме геометрический и физический смысл производной.

Методические указания

Геометрический смысл производной

Если функция дифференцируема в точке , то график этой функции име­ет в соответствующей точке касательную, причем угловой коэффициент каса­тельной равен значению производной в рассматриваемой точке. Угловой ко­эффициент касательной, проведенной к графику функции в точке, , равен значению производной функции при , т.е. . Уравнение этой касательной имеет вид: , где .

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции

1. Обозначить буквой абсциссу точки касания. 2. Найти . 3. Найти и . 4. Подставить найденные числа , , в общее уравнение касательной .

Вычленяют типа задач: 1) задачи на касательную, заданную точкой, через которую она проходит; 2) задачи на касательную, заданную ее угловым коэффициентом.

В первом типе задач были выделены две ключевые задачи:

• касательная проходит через точку, лежащую на кривой (задача 1);

• касательная проходит через точку, не лежащую на кривой (задача 2).

З адача 1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке .

Решение. Точка является точкой касания, так как (рис.1)

1.  – абсцисса точки касания. 2.  . 3.  , . 4. – уравнение касательной.

Задача 2. Напишите уравнения всех касательных к графику функции , проходящих через точку .

Р ешение. Точка не является точкой касания, так как (рис. 2).

1.  – абсцисса точки касания. 2.  . 3.  , . 4.  – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку , следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

.

Если , то уравнение касательной имеет вид .

Если , то уравнение касательной имеет вид .

Во втором типе ключевыми задачами будут следующие:

• касательная параллельна некоторой прямой (задача 3);

• касательная проходит под некоторым углом к данной прямой (задача 4).

Задача 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции , параллельных прямой .

Решение.

1.  – абсцисса точки касания. 2.  . 3 .  , . Но, с другой стороны, (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение . Его корни (рис. 3).

4. 1) Если ; 2)  ; 3)  ; 4)  ;

– уравнение касательной;

1) Если ; 2) 2)  ; 3)  ; 4)  ;

– уравнение касательной; Задача 4. Напишите уравнение касательной к графику функции , п роходящей под углом к прямой (рис. 4).

Решение. Из условия найдем :  .

1.  – абсцисса точки касания. 2.  . 3.  . 4.  .

– уравнение касательной.

Решение любой другой задачи сводится к решению одной или нескольких ключевых задач. Рассмотрим в качестве примера следующие три задачи.

1. Напишите уравнения касательных к параболе , если касательные пересекаются п од прямым углом и одна из них касается параболы в точке с абсциссой (рис. 5).

Решение. Поскольку дана абсцисса точки касания, то первая часть решения сводится к ключевой задаче 1.

1.  – абсцисса точки касания одной из сторон прямого угла. 2.  . 3.  , . 4. – уравнение первой касательной.

Пусть – угол наклона первой касательной. Так как касательные перпендикулярны, то – угол наклона второй касательной. Из уравнения первой касательной имеем . Найдем . Это значит, что угловой коэффициент второй касательной равен .

Дальнейшее решение сводится к ключевой задаче 3.

Пусть есть точка касания второй прямой, тогда .

1.  – абсцисса второй точки касания. 2.  . 3.  . 4. 

– уравнение второй касательной.

Примечание. Угловой коэффициент касательной может быть найден проще, если учащимся известно соотношение коэффициентов перпендикулярных прямых .

2. Напишите уравнения всех общих касательных к графикам функций и .

Решение. Задача сводится к отысканию абсцисс точек касания общих касательных, то есть к решению ключевой задачи 1 в общем виде, составлению системы уравнений и последующему ее решению (рис. 6).

1. Пусть – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции 2.  . 3.  . 4.  – уравнение касательной.

1. Пусть – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции   2.  . 3.  . 4. 

Так как касательные общие, то

Итак, и – общие касательные.

3. Задача, обратная к задаче 1, на нахождение функции по семейству ее касательных.

При каких и прямые и являются касательными к графику функции ?

Решение. Пусть – абсцисса точки касания прямой с параболой ; – абсцисса точки касания прямой с параболой . Тогда уравнение касательной примет вид , а уравнение касательной примет вид . Составим и решим систему уравнений

Ответ: .

 Физический смысл первой и второй производной

Необходимость изучения мгновенной скорости изменения функции воз­никает во многих случаях. Например, скорость химической реакции, скорость испарения жидкости, скорость изменения длины стержня при изменении тем­пературы и т.д.

Если функция описывает закон прямолинейного движения матери­альной точки, то первая производная пути по времени равна скорости дви­жения, а вторая производная равна ускорению движения материальной точки в данный момент времени .

Пример 1. Точка движется по прямой по закону (  метрах, − в секундах). Найти скорость и ускорение в конце третьей секунды.

Решение. , тогда .

, тогда .

Ответ: , .