Упражнения

1. Предел последовательности

1. Дана постоянная последовательность для всех натуральных чисел . Докажите, используя определение предела последовательности, что

2. Докажите, что

3. Докажите, используя определение предела последовательности, что

4. Докажите, используя определение предела последовательности, что при 0 < q < 1.

5. Докажите, что всякая числовая последовательность может иметь не более одного предела.

6. Докажите, что .

7. Докажите, что

8. Докажите, что

9. Является ли последовательность бесконечно малой?

10. Является ли последовательность бесконечно малой?

11. Является ли последовательность бесконечно малой?

12. Найти предел .

13. Найти предел последовательности .

14. Найти предел последовательности .

15. Найти предел последовательности .

16. Найти предел последовательности .

Объясните, какие свойства пределов и теоремы Вы использовали для вычисления этого предела.

17. Найти предел последовательности .

18. Найти предел последовательности .

19. Вычислить предел .

20. Найти предел последовательности .

2. Предел функции. Непрерывность

21. Докажите, что .

22. Найдите, используя определение предела функции, предел функции при . Используя графические соображения, найдите односторонние пределы и .

23. Докажите, что .

24. Докажите, что .

25. Докажите, что .

26. Докажите, что .

27. Найти предел функции. Докажите, что .

28. Вычислить предел функции , где - постоянная величина.

29. Вычислить предел .

30. Вычислить предел .

31. Вычислить предел .

32. Найти предел функции .

33. Найти предел функции .

34. Построить график функции . Является ли функция непрерывной в точке ?

35. Построить график функции . Является ли эта функция непрерывной?

3. Производная

36. Найти производную функции .

37. Найти производную функции .

38. Найти производную функции .

39. Найти производную функции .

40. Найти производную функции .

41. Найти производную функции .

42. Найти производную функции .

43. Найти производную функции .

44. Найти производную функции .

45. Вычислить производную функции .

46. Вычислить производную функции .

47. Вычислить производную функции .

48. Вычислить производную функции .

49. Вычислить производную функции .

50. Вычислить производную данной функции .

51. Вычислить производную функции: .

52. Пользуясь определением производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента, найдите производную функции .

53. При каком значении параметра p касательная к графику функции , проведенная в точке с абсциссой , параллельна прямой ?

54. Выяснить геометрический смысл теоремы Лагранжа.

55. Выяснить геометрический смысл теоремы Ферма.

56. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя, .

57. Используя правило Лопиталя, вычислить предел .

58. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя .

59. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя .

60. Найти предел функции (можно воспользоваться правилом Лопиталя) .

61. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя .

62. Найти дифференциал функции . Найти дифференциал функции в точке .

63. Вычислить .

64. Вычислить .

65. Вычислить частные производные функции двух переменных .

66. Вычислить частные производные функции двух переменных .

67. Вычислить частные производные функции двух переменных .

68. Вычислить частные производные функции двух переменных .

69. Вычислить частные производные функции двух переменных .

70. Вычислить частные производные функции двух переменных .