2.1.2. Точечные оценки законов распределения

На практике все результаты измерений и случайные погрешности являются величинами дискретными. При использовании дискретных СВ возникает задача нахождения точечных оценок параметров их функций распределения на основании статистической совокупности, которая в этом случае называется выборкой. Выборка должна быть репрезентативной (представительной), то есть должна хорошо представлять генеральную совокупность. Генеральная совокупность - статистическая совокупность, содержащая в себе все возможные значения СВ.

Оценка параметра называется точечной, если она выражается одним числом. Точечная оценка может быть состоятельной, несмещенной и эффективной.

Состоятельной называется оценка, которая при увеличении объема выборки стремится по вероятности к истинному значению числовой характеристики.

Несмещенной называется оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемой числовой характеристике.

Эффективной называется несмещенная оценка, имеющая наименьшую дисперсию из нескольких оценок.

Точечной оценкой математического ожидания(МО) результата измерений является среднее арифметическое значение измеряемой величины

,

где n – объем выборки; х_i – значение СВ.

При любом законе распределения оно является состоятельной и несмещенной оценкой, а также наиболее эффективной по критерию наименьших квадратов.

Точечная оценка дисперсии (состоятельная и несмещенная) определяется по формуле

.

Среднее квадратическое отклонение(СКО) СВ определяется как корень квадратный из дисперсии. Однако операция извлечения корня является нелинейной процедурой и приводит к смещенности получаемой таким образом оценки. Для исправления оценки СКО вводится поправочный множитель k(n), зависящий от числа наблюдений (объема выборки n). Он изменяется от k(3) = 1,13 до k()  1,03. Тогда оценка СКО

.

Полученные оценки МО и СКО являются СВ. Это проявляется в том, что при повторениях серий из n наблюдений каждый раз будут получаться различные оценки и . Так как большое число измерений проводится довольно редко, то возникающая по этой причине погрешность обычно значительно больше погрешности, из-за смещенности оценки, обусловленной извлечением квадратного корня. Поэтому на практике поправочным множителем пренебрегают, то есть считают его равным 1.

Точечные оценки других параметров распределений (коэффициента асимметрии, эксцесса) используются значительно реже.

2.1.3. Доверительная вероятность и доверительный интервал

На практике важно не только получить точечную оценку, но и определить интервал, называемый доверительным, между границами которого с заданной доверительной вероятностью

,

где - уровень значимости; - нижняя и верхняя границы интервала, находится истинное значение оцениваемого параметра.

1.В общем случае, при любом законе распределения СВ, доверительные интервалы можно определять, на основе неравенства Чебышева. Оно определяет вероятность того, что результат измерения не отличается от среднего значения больше чем на половину доверительного интервала

,

где оценка СКО распределения; - положительное число.

Принимая доверительную вероятность Р из неравенства можно определить значение t (табл.2.1).

Таблица 2.1

Таблица вероятностей распределения Чебышева

P	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,85	0,89	0,90	0,92	0,95	0,96	0,98
t	1,2	1,3	1,42	1,6	1,84	2,21	2,6	3,0	3,16	3,52	4,47	5,0	7,07

Полученные с помощью неравенства Чебышева интервалы оказываются слишком широкими для практики. Так, доверительной вероятности 0,9 для многих законов распределений соответствует доверительный интервал 1,6, а по неравенству Чебышева 3,16. В связи с этим оно не получило широкого распространения.

2. Для нормально распределенной СВ и при большом количестве наблюдений (измерений), интервальная оценка определяется следующим образом:

- определяется точечная оценка МО и СКО по приведенным выше формулам.

- выбирается доверительная вероятность Р из рекомендуемого ряда значений 0,90; 0,95; 0,99.

- находятся верхняя и нижняя границы доверительного интервала по уравнениям

, ,

где n – количество измеренных значений(объем выборки); - аргумент функции Лапласа , отвечающей вероятности Р/2. Половина длины доверительного интервала , называется доверительной границей погрешности результата измерений.

3. Для нормально распределенной СВ, но при малом количестве наблюдений (измерений), что обычно бывает на практике, верхняя и нижняя границы доверительного интервала определяются по уравнениям

, .

А половина длины доверительного интервала равна

,

где -коэффициент Стьюдента, рассчитанный для различных значений доверительной вероятности и числа измерений, табулирован.

4. В тех случаях, когда распределение СВ не является нормальным, все же часто пользуются распределением Стьюдента с приближением, степень которого остается неизвестной. Распределение Стьюдента применяют при числе измерений n < 30, поскольку уже при n = 2030 оно переходит в нормальное. Результат измерения записывается в виде ; Р = Р_д, где Р_д – конкретное значение доверительной вероятности.

Полученный результат измерения не является одним конкретным числом, а представляет собой интервал, внутри которого с некоторой вероятностью Р_д находится истинное значение измеряемой величины. Выделение середины интервала не означает, что истинное значение ближе к нему, чем к остальным точкам интервала. Оно может быть в любом месте интервала, а с вероятностью 1 - Р_д даже вне его.