2.2. Обработка результатов измерений

2.2.1. Расчет и исключение систематических погрешностей.

Исключаем систематическую погрешность 30 кОм и составляем новую табл. 2 с пересчитанными результатами измерений.

Таблица 1.

Результаты измерений сопротивления _____________

№ измерения	Значения сопротивления , кОм	№ измерения	Значения сопротивления , кОм	№ измерения	Значения сопротивления , кОм
1	890	13	614	25	840
2	701	14	1372	26	712
3	1010	15	1291	27	1821
4	1160	16	961	28	832
5	708	17	1401	29	863
6	727	18	1083	30	1034
7	1170	19	1084	31	1343
8	1130	20	1250	32	947
9	633	21	955	33	855
10	897	22	1156	34	1134
11	669	23	939	35	1076
12	496	24	1055	36	885

Таблица 2.

Результаты измерений сопротивления после исключения систематической погрешности

№ измерения	Значения сопротивления , кОм	№ измерения	Значения сопротивления , кОм	№ измерения	Значения сопротивления , кОм
1	860	13	584	25	810
2	671	14	1342	26	682
3	980	15	1261	27	1791
4	1130	16	931	28	802
5	678	17	1371	29	833
6	697	18	1053	30	1004
7	1140	19	1054	31	1313
8	1100	20	1220	32	917
9	603	21	925	33	825
10	867	22	1126	34	1104
11	639	23	909	35	1046
12	966	24	1025	36	855

2.2.2. Расчет точечных оценок результатов измерений.

2.2.2.1. После исключения систематической погрешности равной 30 кОм вычисляется среднее арифметическое значение результатов измерений по формуле.

= 975,389 кОм,

где - результат i-го измерения;

n – объем выборки.

2.2.2.2. Вычисляется среднеквадратическое отклонение результатов измерений

.

2.2.3. Проверка наличия грубых погрешностей в результатах измерений.

2.2.3.1. Проверяется наличие грубых погрешностей в предположении нормального распределения погрешностей (вид распределения задан преподавателем).

Исходя из имеющегося объема выборки, выбираем критерии, по которым будем проверять наличие грубых погрешностей. При n = 36 подходящими являются критерии «трех сигм» и критерий Шарлье.

2.2.3.2. Для определения «экстремальных» значений располагаем результаты наблюдений в вариационный возрастающий ряд : 584, 603, 639, 671, 678, 682, 697, 802, 810, 825, 833, 855, 860, 867, 909, 917, 925, 931, 966, 980, 1004, 1025, 1046, 1053, 1054, 1100, 1104, 1126, 1130, 1140, 1220, 1261, 1313, 1342, 1371, 1797.

К предполагаемым грубым погрешностям отнесем крайние значения вариационного ряда: 584 и 1797 кОм.

2.2.3.3. Проверка по критерию «трех сигм».

Отбрасываем выбранные результаты измерений и определяем среднее арифметическое значение и СКО . После расчетов получим

=962,91 кОм и = 207,15 кОм.

В соответствии с МУ к лабораторной работе № 2, п.2.1.4.1 и, исходя из объема выборки n =36, границу цензурирования (границу отбрасывания экстремальных значений) определяем по неравенству

Определяем модули разности для обоих экстремальных значений и проверяем выполнение данного условия:

для значения 584 кОм имеем 584 – 962,91= 378,91< 4207,15= 828,6. Результат с вероятностью Р  0,997 относится к данной выборке и не является грубой погрешностью;

для значения 1797 имеем 1797 – 962,91 = 834,09 > 828,6. Следовательно, данный результат отбрасываем как результат, являющийся грубой погрешностью.

2.2.3.4. Проверка по критерию Шарлье.

Результат отбрасывается, если выполняется неравенство

.

Значение критерия Шарлье определяем по табл.2.3 МУ. С учетом интерполяции значений критерия для n = 30 и 40 получим приблизительное значение критерия = 2,19.

Проверяем условие: для значения 584 кОм имеем 584 – 962,91= 378,91< 2,19207= 453,33. Это значение сохраняем;

для значения 1797 имеем 1797 – 962,91 = 834,09 > 453,33. Данный результат отбрасываем, как грубую погрешность.

Таким образом, и по критерию «трех сигм» и по критерию Шарлье отбрасываем результат измерений равный 1797 кОм.

2.2.4. Расчет точечных оценок результатов измерений после исключения грубых погрешностей.

Определяем среднее арифметическое значение и среднее квадратическое отклонение после отбрасывания значения 1797 кОм (повторяем вычисления по п.2.2.2). Получим пересчитанные значения

= 952,09 кОм и = 204,37 кОм.

2.2.5. Расчет доверительных интервалов случайной погрешности измерений.

2.2.5.1. Находятся границы доверительного интервала случайной погрешности результата измерений в соответствии с п.2.1.3. МУ. Границы определяются при доверительной вероятности Р = 0,95 и Р = 0,99.

2.2.5.2. Выбирается способ оценки доверительных интервалов, зависящий от объема выборки n и вида распределения.

Поскольку вид распределения в данной работе не устанавливался с помощью критериев согласия, а был задан преподавателем как нормальный, и объем выборки достаточно большой, то используем для определения границ доверительного интервала способ в соответствии с п.2.1.3. МУ.

2.2.5.3 По выбранному способу, для нормально распределенной СВ и при большом количестве измерений, верхняя и нижняя границы доверительного интервала определяются по уравнениям

, ,

а доверительная граница погрешности результата измерения по формуле ,

где n –объем выборки, равный 36; - аргумент функции Лапласа , отвечающей вероятности Р/2.

Значение функции Лапласа определяем по табл. П.1.3 МУ для двух заданных значений доверительной вероятности Р = 0,95 и Р = 0,99. Для определения значения вероятность Р делится пополам: для Р/2 = 0,4750, получим = 1,96. Для Р/2 = 0,4950, = 2,58.

Доверительные границы будут равны:

для Р = 0,95  =  1,96204,37/ = 66,76 кОм,

для Р = 0,99  =  2,58204,37/ = 87,88 кОм.

Или в соответствии с условием , где -истинное значение сопротивления, получим

для Р = 0,95 885,33 1018,85,

для Р = 0,99 864,21 1039,97.

2.2.6. Определение границ неисключенных систематических погрешностей.

При суммировании неисключенных систематических погрешностей их рассматривают как случайные величины с равномерным законом распределения.

2.2.6.1. Границы неисключенных систематических погрешностей результата измерения определяются по формуле

,

где - граница i – й неисключенной систематической погрешности;

- число неисключенных систематических погрешностей;

- коэффициент, зависящий от числа слагаемых , их соотношения и доверительной вероятности Р.

2.2.6.2. Согласно заданию имеются две (m = 2) неисключенная систематическая погрешность: = 180 кОм – погрешность, заданная преподавателем и - погрешность измерений, зависящая от класса точности измерительного прибора.

2.2.6.3. В инструкции по эксплуатации к цифровому измерителю - мультиметру типа М 832, М 838 на используемом диапазоне измерения сопротивлений 2000 кОм погрешность задана в виде процентов и равна 1%. Такой способ указания точности измерений используется для обозначения приведенной погрешности, которая определяется по формуле

,

где -абсолютная погрешность;

- численное значение шкалы в конце диапазона (в нашем случае оно равно 2000 кОм).

Считая величину равной неисключенной систематической погрешности (такая ситуация часто встречается на практике в предположении , что распределение погрешности равномерное), получим

2.2.6.4. Суммируем погрешности по формуле п. 2.2.6.1. Значение определяем по табл. 2.5 МУ. При = 2 и Р = 0,95 = 1,1, а для Р = 0,99 по табл.2.6МУ ≈ 1,2 при =20/180 = 0,11.

Для Р = 0,95

Для Р = 0,99

2.2.7. Суммирование случайных и систематических погрешностей.

2.2.7.1. Вычисляем отношение в соответствии с п.2.1.5. МУ.

Для Р = 0,95 = 199,2/204,37 = 0,97

Для Р = 0,98 = 217,3/204,37 = 1,06

Эти отношения отвечают условиям неравенства .

В связи с этим границу погрешности результата измерения определяем как композицию распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей, рассматриваемых в этом случае, как случайные величины по формулам

,

где , - оценка суммарного СКО суммарной погрешности, .

Получим следующие рассчитанные значения

для Р = 0,95 и  = 66,76: = 1,79; = 109,36 и =195,57

для Р = 0,99 и  = 87,88: = 1,94; = 109,36 и =212,31.

2.2.10. Окончательный результат измерения после округления представляется в следующем виде:

= (952,1  195,5)кОм при Р = 0,95 и симметричной доверительной вероятности или как 756,6кОм 1147,6кОм;

= (952,1  212,3)кОм при Р = 0,99 и симметричной доверительной вероятности или как 739,8кОм 1164,4 кОм;

ВЫВОДЫ

1. Исходя из имеющегося объема выборки и вида распределения, были выбраны критерий «трех сигм» и критерий Шарлье для проверки наличия грубых погрешностей. По обоим критериям результат измерений равный 1197 кОм был отброшен.

2. Учет только случайной составляющей погрешности измерений дает доверительный интервал, составляющий 7 и 9% от среднего значения при доверительных вероятностях соответственно 0,95 и 0,99, в то время, как учет и неисключенной систематической составляющей дает значительно большие отклонения, которые соответственно составляют 21 и 22%. Это говорит о необходимости при измерениях всегда учитывать все составляющие погрешности измерений для получения максимально возможного достоверного результата.