Биноминальный закон распределения вероятностей.

При реализации испытаний Бернулли часто возникает задача определения числа успехов. Поскольку число успехов может быть равна 0,1,2…n, то первая задача заключается в нахождении соответствующих вероятностей. Событие “n испытаний закончились k успехами и n-k неудачами” содержит столько элементарных событий, сколько возможно способов ?разменивания? k букв на n листах, т.е. . Кроме того, каждое такое событие имеет вероятность p^k*q^(n-k) => доказана теорема:

Вероятность P_n(k) того, что n испытаний Бернулли с вероятностями успеха p и неудачей q закончились k успехами и n-k неудачами определяется формулой:

P_n(k)= p^k*q^(n-k) (2)

Так как q^n – это вероятность того, что в последовательности n испытаний успехов не будет, то вероятность того, что будет хотя бы один успех равна 1-q^n, поскольку вероятность P_n(k) равна коэффициенту при x в разложении бинома (q+px)^n по степеням x, то совокупность вероятностей P_n(k): = биноминальным распределением вероятностей или биноминальным законом распределения вероятностей.

Локальная предельная теорема локальная Муавра-Лапласа.

При видимых значениях n и k оценка вероятностей по (2) затруднительна, поэтому нужна асимптотика (научное поведение функции при стремлении аргумента к бесконечности, Википедия), позволяющая проще оценивать эти вероятности. Такая формула была получена Муавром для частного случая схемы Бернулли при p=q=1/2, а затем обобщена Лапласом на случай произвольного p≠0 или p≠1. Эта формула известна как локальная теорема Муавра-Лапласа: если в каждом из n независимых испытаний, вероятность наступления события A посчитана и равна p(0<p<1), то вероятность P_n(k) того, что в этих k испытаниях события A наступит равно k раз и удовлетворяет соотношению:

(3) равномерно для всех k и значение x:

X=(k-np) / (sqrt(npq)) Для некоторого конечного интервала.

Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа.

Если k есть число наступления события в N независимых испытаниях, в каждом их которых вероятность этого события постоянна k=p, то равномерно относительно параметров a и b (- <a<b < ).

P_n(a≤(k-np)/(sqrt(npq)) < b)=1/(sqrt(2pi)) int e^((-x^2)/2) dx (4)

Предельная теорема и распределение вероятности Пуассона.

Аппроксимирование вероятностей P_n(k) функцией 1\sqrt(2*pi) * e^((-x^2)\2) тем хуже, чем больше отличие вероятности p от 1\2. Кроме того, эту функцию нельзя применять и при вероятностях p=0 или 1. Однако, часто требуется оценить вероятность P_n(k) именно при малых значениях вероятности p, а в этом случае теорему Муавра-Лапласа дает оценки с малой ошибкой только при очень большом числе испытаний n. В результате возникает задача построения асимптотической формулы, достаточно точной и в случае малых значений p. Решение этой задачи дает: Теорему Пуассона: Пусть имеем последовательность серий независимых событий E_11, E_21, E_22, E_n1, E_n2,…,E_nn, в которых события i-серии наступают с вероятностью p_i. Пусть μ_i число событий, наступивших в i-серии и a_j=j*p_i. Тогда, если вероятность p_n -> 0, то вероятность (5) p{μ_k =k } – (a^k_n)k!*e^(-a_n)->0

Важное распределение вероятностей следует из (5) при a_i=i*p_i=const=a и p_i- :

(6) – это распределение: = Пуассоновским или распределением (законом) Пуассона.