График выполнения курсовой работы

Планируемая работа	Объем самост. работы студента, час.	Сроки выполнения (недели)	Сроки защиты этапов (недели)
Выполнение 1-гo этапа	18	1-6	7
Выполнение 2-гo этапа	15	8-12	13
Выполнение 3-гo этапа	3	13	14
Оформление, подготовка к защите и защита курсовой работы	3	17	15, 16

Курсовая работа защищается студентом перед комиссией с учас­тием руководителя. Оценка по курсовой работе выставляется на основании оценок, полученных студентом при сдаче этапов с учетом качества защиты перед комиссией. Студентам, которые качественно выполняли и своевременно защищали все этапы курсовой работы, руководитель имеет право выставить оценку без защиты на комиссии.

График защиты курсовых работ на комиссии сообщается студентам руководителем. Студенты обязаны прибыть на защиту в указанное в графике время.

При получения студентом неудовлетворительной оценки по курсо­вой работе он допускается к повторной защите с разрешения декана факультета.

3. Содержание пояснительной записки к курсовой работе

Введение.

1. Синтез передаточной функции фильтра нижних частот.

1.1. Постановка задачи и описание методики ее решения.

1.2. Синтез передаточной функции ФНЧ на основе аппроксимации Баттерворса.

1.3. Синтез передаточной функции ФНЧ на основе аппроксимации Чебышева.

1.4. Расчет АЧХ фильтров по синтезированные передаточным функ­циям.

1.5. Анализ результатов синтез и расчета.

2. Синтез принципиальной схемы фильтра нижних частот.

2.1. Постановка задачи и описание методики её решения.

2.2. Синтез принципиальной схемы ФНЧ для аппроксимации Баттерворса.

2.3. Синтез принципиальной схемы ФНЧ для чебышевской аппроксима­ции.

2.4. Расчет АЧХ фильтров.

2.5. Сравнительный анализ рассчитанных АЧХ с желаемыми.

3. Анализ чувствительности оптимизированных фильтров нижних частот.

3.1. Постановка задачи и описание методики ее решения.

3.2. Анализ чувствительности АЧХ фильтров.

3.3. Расчет требований к допускам параметров элементов ФНЧ.

3.4. Сравнительный анализ двух вариантов ФНЧ с точки зрения чувствительности.

4. Анализ переходных процессов в фильтрах нижних частот.

4.1. Постановка задачи и описание методики ее решения.

4.2. Результаты расчета переходных характеристик фильтров.

4.3. Сравнительный анализ переходных характеристик фильтров

5. Заключение по результатам проектирования.

6. Список использованных источников.

Кроме перечисленных выше разделов и подразделов, поясни­тельная записка должна содержать приложения, в которых необходимо поместить распечатки результатов автоматизированного проектиро­вания.

4. Синтез передаточных функций фильтров нижних частот

В данном разделе рассмотрен синтез фильтров нижних частот (ФНЧ), назначение которых с минимальным ослаблением передавать колебания, частоты которых не превосходят заданной граничной частоты, называемой частотой среза фильтра. В то же вре­мя колебания с более высокими частотами должны существенно подавляться.

Для ФНЧ с частотой среза идеальная амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) имеет вид, показанный на рис. 2, где K(jw) -комплексный коэффициент передачи по напряжению. Очевидно, что для идельного ФНЧ

(4.1)

П ри этом на форму фазочастотной характеристики никаких ограниче­ний не накладывается. Такой под­ход называется синтезом фильтра по заданной амплитудно-частотной характеристике.

Идеальная АЧХ (6.1) в соответствии с теоремой Пали-Винера физически нереализуема /2, с. I93/. Поэтому идеальную АЧХ аппроксимируют такой функцией, которая принадлежит физически реализуе­мой цепи.

В радиотехнике наибольшее распространение получили два способа аппроксимации - Баттерворса и Чебышева. Существуют и дру­гие способы аппроксимации /3,4/.

Один из возможных способов аппроксимации идеальной частот­ной характеристики ФНЧ построен на использовании коэффициента передачи мощности

, (4.2)

где ωн = ω /ωс - безразмерная нормированная частота. Коэффициент передачи мощности представляет собой квадрат модуля комплексного коэффициента передачи по напряжению, т.е. Кp(ω) = К*(jω) К(jω).

Фильтр нижних частот, имеющий Кр(ωн), определяемый (4.2), называют фильтром

Баттерворса или фильтром с максимально-плоской характеристикой. Целое число n=1,2,3... называется порядком фильтра. При любом n, фильтр с коэффи­циентом передачи мощности (4.2) релизуем /2/.

В полосе пропускания фильтра, т.е. при 0≤н≤1 квадрат модуля комплексного коэффициента передачи по напряжению плавно уменьшается с ростом частоты. На частоте среза (при ωн =1 ) ослабление, вносимое фильтром (по мощности), составляет 10 lg 0.5 = 3 дБ независимо от его порядка. Чем больше n, тем точнее ап­проксимируется идеальная АЧХ. На рис. 3 изображены графики, построенные по (4.2), для максимально-плоских АЧХ раз­личных порядков. Порядок фильтра обычно подбирает, исходя из

K_p(ω)/A₁²

n=5

0.75

0.5

n=1

0.25

ω_н

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Рис.3

требований, предъявляемых к ослаблению сигналов с частотами ω > ωс. Например, найдем порядок фильтра Баттерворса с часто­той среза ωс =, который на частоте ω = 3ωс обеспечивал бы ослабление сигнала не хуже 26 дБ по отношению к уровню при ω = 0.

Сформулированное условие определяет порядок фильтра как ближайшее большее целое число к решению уравнения

Решая это уравнение, получаем n=3.

П ри значительной расстройке сигнала относительно полосы пропускания фильтра, когда ω >> 1, из (6.2) получаем

т.е. ослабление, выраженное в децибелах

Отсюда следует, что при увеличении частоты в два раза ослабление, вносимое фильтром Ваттерворса, возрастает примерно на 20 n lg2 = 20 n 0.3 = 6 n дБ. Говорят, что для фильтра этого типа скорость роста уровня подавления вне полосы пропускания составляет

6n дБ/октава (октавой называют ин­тервал частот, крайние частоты которого отличаются в два раза). При увеличении частоты в 10 раз (такой интервал частот называет декадой) ослабление, вносимое фильтром Баттерворса, возрастет на 20 n lg 10 = 20 n дБ, т.е. скорость ослабления вне полосы пропускания составит 20 n дБ/декада. Очевидно, что 6n дБ/октава и 20n дБ/декада - это одна и та же скорость роста ослабления.

Для синтеза структуры цепи необходимо от коэффициента пе­редачи мощности, заданного в форме (4.2), перейти к передаточной функции К(р). С этой целью введем нормированную комплексную переменную pн = σн + jωн и запишем (6.2) так [2]:

(4.3)

Из (4.3) видно, что функция Кр(рн) на плоскости комплексной переменной имеет 2n полюсов, кото­рые являются корнями уравнения

(4.4)

В се эти корни лежат на окружности единичного радиуса с центром в начале координат. При n = 1 полюсы коэффициента передачи мощности находятся из уравнения

т.е.

(4.5)

Для n=2, уравнение р =-1 имеет четыре корня

(4.6)

Н аконец, для фильтра 3-го порядка необходимо решить уравнение , имеющее шесть корней:

(4.7)

Расположение корней на комплексной плоскости для рассмотренных случаев показано на рис. 4.

90⁰ 180⁰ 45⁰

Общая закономерность при любом n такова: все полюсы распо­ложены на одинаковом угловом расстоянии друг от друга, равном π /n ; если n -нечетное число, то первый корень pm=1; если n - четно, то рm+1 = exp(j π /n ).

Теперь воспользуемся тем, что полюсы коэффициента передачи мощности имеют квадрантную симметрии, т.е. их число и конфигура­ция расположения в обеих полуплоскостях одинаковы. Это позво­ляет считать, что только те полюсы, которые расположены в левой полуплоскости, соответствуют синтезируемому фильтру. Их "зеркаль­ные копии" а правой полуплоскости соответствуют функции К(-р) и отбрасываются. Описанный принцип отбора полюсов переда­точной функции является основным в процедуре синтеза фильтров, поскольку на нем в дальнейшем базируется реализация цепи.

В качестве примера рассмотрим задачу определения передаточной функции ФНЧ с характеристикой Баттерворса 2-го порядка. Очевидно, что передаточная функция определяется двумя комплексно-сопряженными полюсами, лежащими в левой полуплоскости (4.6) и рис.4 для n=2:

Тогда имеем:

(4.8)

Таким образом, для реализация ФНЧ при n=2 требуется динами­ческая система 2-го порядка. Для любого n передаточная функция фильтра Баттерворса имеет вид:

(4.9)

где Zнi , i =1…n – соответствующие полюса.

Широкое применение находит также и другой способ аппроксимации АЧХ идеального ФНЧ, получивший название чебышевской аппроксимации. Коэффициент передачи мощности ФНЧ такого вида задается формулой:

(4.10)

где ε 1 - постоянное число, называемое коэффициентом неравномерности характеристики в полосе пропускания; Тн(ωн) -многочлен Чебышева n-го порядка. определяемый выражением: [2].

(4.11)

Функция Tн(x) при любом x, может быть найдена из рекуррентного соотношения

(4.12)

причем Т0(х)=1 и Т1(х)=x.

Многочлены Чебышева часто используются в различных задачах аппроксимации благодаря следующему свойству: среди всех многочленов n-й степени с одинаковыми коэффициентами при старшей степени аргумента они менее всего отклоняются от нуля на интер­вале -1 < x < 1. В то же время при | x | >>1 абсолютные значения многочленов Чебышева очень велики. Асимптотически при | x | имеет место

(4.13)

С помощью таких многочленов можно удачно аппроксимировать АЧХ идеального ФНЧ: из (6.10) видно, что в пределах по­лосы пропускания 0 < ωн < 1 величина Кр (ωн)

колеблется от до , а при ωн >>1 фильтр будет обеспечивать большое

о слабление сигнала (пропорциональное

На рис.5 изображены типичные графики частотных характеристик передачи мощности

K_p(ω)/A₁²

ω_н

_Рис.5.

для двух чебышевских фильтров при n=2 и n=3 .

Из графиков видно, что в полосе пропускания час­тотные характеристики фильтров Чебышева немоно­тонны. Величина пульсаций ослабления тем выше, чем больше ε . Как следует из (6.10), увеличение ε приводит к большему ослаблению сигналов вне полосы пропускания. Подбором двух параметров ε и n можно добиться выполнения требований, предъявляемых к синтезируемому фильтру, и по величине пульсаций в полосе пропускания, и по уровню подавления вне полосы пропускания.

Величину пульсаций β обычно характеризуют отношением максимального минимального значений коэффициента передачи мощности в полосе пропускания, т.е. при

0н1 . Очевидно, что

(6.14)

где 01.

Поскольку значение β чаще всего задают в децибелах, из (4.14)

получаем выражение для требуемой величины коэффициента неравномерности

(4.15)

где величина β должна быть в децибелах.

При выбранной величине коэффициента затухания порядок фильт­ра Чебышева можно определить исходя из заданного уровня подавления сигналов вне полосы пропускания, т.е. при ωн >1 путем реше­ния уравнения

, (4.16)

где γ - заданный уровень подавления в децибелах;

ωн - нормированная частота, соответствующая заданному уров­ню подавления.

Решение (4.16) довольно громоздко. Читателю предлагается само­стоятельно найти это решение. Выражение для порядка фильтра Чебышева имеет вид: / 3 /

, (4.17)

где arch( ) - обратный гиперболический косинус, который можно вычислять по формуле /7/

, (4.18)

Отметим, что порядок фильтра Чебышева должен определяться как ближайшее большее целое число к величине, вычисленной по (4.17).

Рассмотрим пример определения порядка фильтра Чебышева при следующих исходных данных

β=0,1 дБ , γ=30 дБ , ω=1,5 .

Из (4.17) находим n = 6.26 , таким образом порядок фильтра n = 7

При одинаковой величине порядка фильтр с чебышевской харак­теристикой позволяет существенно лучше подавлять сигналы, часто­ты которых лежат вне полосы пропускания, или при одинаковом уров­не подавления вне полосы пропускания фильтр Чебышева имеет мень­ший порядок по сравнению с фильтром Ваттерворса.

В качестве примера рассмотрим фильтр с чебышевской характерис­тикой 3-го порядка, ко торый на частоте среза (ωн = 1) ославляет мощность сигнала в 2 раза, т.е. точно так же, как и фильтр Баттерворса. Определим уровень ослабления сигнала, вносимый этими фильт­рами на частоте, в три раза превышающей частоту среза,

Вначале найдем коэффициент неравномерности ε. Как следу­ет из (4.14), для β = 2 имеем

ε = 1.

Многочлен Чебышева 3-го порядка в соответствии с (4.12) имеет вид:

,

тогда уровень подавления сигнала чебышевским фильтром 3-го поряд­ка с коэффициентом неравномерности ε = 1 на частоте ω = 3ωс

составит

,

Для тех же исходных данных фильтр Ваттерворса третьего порядка дает уровень подавления

,

что примерно на 11 дБ хуже, чем у фильтра Чебышева.

Для "вхождения передаточной функции чебышевского ФНЧ необходи­мо аналогично тому, как и для фильтра Баттерворса, вначале опре­делить полосы коэффициента передачи мощности, которые являются корнями уравнения

, (4.19)

Метод решения этого уравнения довольно громоздок, и с ним можно ознакомиться в /8/. Практические расчеты выполняют следую­щим образом /2/. Вначале вычисляют параметр

, (4.20)

Затем находят полюса передаточной функции фильтра Баттерворса то­го же порядка и с той же частотой среза. Чтобы перейти к полю­сам передаточной функции чебышевского фильтра, абсциесу каждого полюса фильтра Баттерворса умножают на sha, а ординату - на

cha.

В то время как полюсы фильтра Ваттерворса располагаются на единичной окружности, полюсы фильтра Чебышева лежат на эллипсе, уравнение которого в плоскостях комплексной переменной pн = σн + j ωн имеет вид:

Рассчитав координаты полюсов, можно записать выражение пере­даточной функции чебышевского ФНЧ в виде, определенном выражением (4.9), где под Zнi, i = 1...n понимаются полюса фильтра Чебышева.

Рассмотрим пример нахождения передаточной функции фильтра Чебышева второго порядка с коэффициентом неравномерности ε = 1.

Вычислив параметр а по (6.20). Получим

,

Соответствующий фильтр Баттерворса имеет передаточную функцию с двумя полюсами

,

Тогда абсциссы полюсов передаточной функции чебышевского фильтра будут равны:

,

а ординаты полюсов составят

.

Этот пример иллюстрирует то, что переход от максимально плос­кой к чебышевской характеристике осуществляется путем приближения полюсов к мнимой оси (см. рис.6);

перемещение их по вертикали не значительно. С физической точки зрения это означает, что колебатель­ная система, соответствующая чебышевскому фильтру, обладает меньши­ми потерями энергии.