Приложения цепных дробей

Теория календаря

При разработке солнечного календаря необходимо найти рациональное приближение для числа дней в году, которое равно 365,2421988… Подсчитаем подходящие дроби для дробной части этого числа:

Первая дробь означает, что раз в 4 года надо добавлять лишний день; этот принцип лёг в основу юлианского календаря. При этом ошибка в 1 день накапливается за 128 лет. Второе значение (7/29) никогда не использовалось. Третья дробь (8/33), то есть 8 високосных лет за период в 33 года, была предложена Омаром Хайямом в XI веке и положила начало персидскому календарю, в котором ошибка в день накапливается за 4500 лет (в григорианском — за 3280 лет). Очень точный вариант с четвёртой дробью (31/128, ошибка в сутки накапливается только за 100000 лет) пропагандировал немецкий астроном Иоганн фон Медлер (1864), однако большого интереса он не вызвал.

Другие приложения

• Доказательство иррациональности чисел. Например, с помощью цепных дробей была доказана иррациональность значения дзета-функции Римана ζ(3)

• Решение в целых числах уравнения Пелля[6]: и других уравнений диофантова анализа

• Определение заведомо трансцендентного числа (см. теорема Лиувилля)

• Алгоритмы факторизации SQUFOF и CFRAC.

• Характеристика ортогональных многочленов

• Характеристика стабильных многочленов

Свойства золотого сечения

Интересный результат, которые следует из того факта, что выражение непрерывной дроби для φ не использует целых чисел больше чем 1, состоит в том, что φ является одним из самых "трудных" действительных чисел для приближения с помощью рациональных чисел. Одна теорема (Теорема Гурвица) [7] утверждает, что любое действительное число k может быть приближено дробью m/n при помощи

Тогда когда практически все действительные числа k имеют в конечно счёте бесконечно много приближений m/n, которые находятся на значительно меньшем расстояние от k, чем этот предел, приближения для φ (т.е. числа 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, и т.д.) последовательно "касаются границы", удерживая расстояние на почти точно расстоянии от φ, тем самым никогда не создавая приближения столь же внушительные как, к примеру, 355/113 для π. Может быть показано что любое действительное число формы (a + bφ)/(c + dφ) – где a, b, c иd являются целыми числами, такими как ad − bc = ±1 – имеют такое же свойство как и золотое сечение φ; а также, что все остальные действительные числа могут быть приближены намного лучше.

Литература

В. И. Арнольд Цепные дроби. — М.: МЦНМО, 2000. — Т. 14. — 40 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»).

Н. М. Бескин Цепные дроби // Квант. — 1970. — Т. 1. — С. 16—26,62.

Н. М. Бескин Бесконечные цепные дроби // Квант. — 1970. — Т. 8. — С. 10—20.

А. А. Бухштаб Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966. — 384 с.

И. М. Виноградов Основы теории чисел. — М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с.

С. Н. Гладковский Анализ условно-периодических цепных дробей, ч. 1. — Незлобная: 2009. — 138 с.

И. Я. Депман История арифметики. Пособие для учителей. — Изд.второе. — М.: Просвещение, 1965. — С. 253—254.

Г. Дэвенпорт Высшая Арифметика. — М.: Наука, 1965.

А. Я. Хинчин Цепные дроби. — М.: ГИФМЛ, 1960.