1) Эллиптическим цилиндром 2) эллипсоидом

3) КОНУСОМ 4) сферой

Р Е Ш Е Н И Е

Это уравнение задает эллипсоид с полуосями а=10, b=8, c=2

О Т В Е Т: 2.

15 Если А и В множества некоторых точек на плоскости, то АUВ – объединение этих множеств, А∩В – пересечение (произведение) этих множеств. Символом А/В обозначают множество точек, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих множеству В (это множество можно назвать разностью множеств А и В); символом В\А обозначают множество мочек, принадлежащих множеству В, но не принадлежащих множеству А.

ЗАДАНИЕ №15 (выберите один вариант ответа)

Операцией над множествами А и В, результат которой выделен на рисунке

является...

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

1) АUВ 2) В\А

3) А\В 4) А∩В

Р Е Ш Е Н И Е

В закрашенную часть попали те точки множества В, которые ему принадлежат, но при этом не принадлежат множеству А, т.е. на рисунке выделено множество В\А.

О Т В Е Т: 2.

16 Чтобы найти кривизну окружности, надо знать радиус окружности. Если окружность задана не каноническим уравнением, то для нахождения R нужно привести уравнение к каноническому виду, как это делали в задании 13.

ЗАДАНИЕ №16 (выберите один вариант ответа)

Если R – радиус окружности х²+у²+6у=0, то ее кривизна всюду равна

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

1) 2) 9

3) 4) 3

Р Е Ш Е Н И Е

Методом выделения полного квадрата данное уравнение приводим к виду

х²+(у+3)²=9, откуда R=3, = .

ОТВЕТ: 3.

17 Предел отношения двух многочленов при х → ∞ равен пределу отношения их старших членов. Например.

= -1, = ∞, =0,

В рассмотренных примерах можно было бы числители и знаменатели дробей сначала разделить на старший член (здесь на х³), чтобы вычислить пределы. Этот способ применим для следующего случая:

= = (разделили на х в числителе) = -1.

ЗАДАНИЕ №17 (выберите несколько вариантов ответа)

Конечный предел при х → +∞ имеет следующие функции...

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

1) f(X) = 2) f(x) =

3) f(x) = 4) f(x) =

Р Е Ш Е Н И Е

В ответах 2, 3 нет конечных пределов, так как в числителях дробей многочлены имеют большую степень, чем в знаменателях.

В ответе 1 конечный предел равный =3; в ответе 4, разделив числитель и знаменатель на х, получили = =-1 (тоже конечный предел)

ОТВЕТ: 1, 4.

18 При вычислении производных надо уметь применить таблицу производных к нахождению производных суммы (разности), произведения, частного функций и сложной функции.

Т аблица производных Правила дифференцирования

1) = 1)

2) = , 2)

3) ,

4) , 3)

, 4) у = f

5) , =

,

ЗАДАНИЕ №18 (выберите один вариант ответа)

Производная функции равна...

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

1) 2)

3) 4)

Р Е Ш Е Н И Е

Здесь нужно применить формулу :

= = = .

О Т В Е Т: 1.

В наиболее простых заданиях на вычисление производных может оказать производная суммы, произведения.

19 Если на (а,b) , то на этом промежутке f(x) возрастает; если на (а,b) , то f(x) убывает на этом промежутке. В окрестности точки экстремума функция меняет характер монотонности: возрастание на убывание или убывание на возрастание. При этом меняет свой знак с + на – (либо с – на -)

ЗАДАНИЕ №19 (выберите несколько вариантов ответа)

График производной изображен на рисунке:

2

1

-2 -1 0 1 2 3 x

Тогда справедливы следующие утверждения...

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

1) в точке -1 функция f(x) имеет 2) на промежутке (0;1) функция

максимум f(x) убывает

3) на промежутке (-1;0) функция 4) в точке -2 функция f(x) минимум

f(x) возрастает

Р Е Ш Е Н И Е

1) Утверждение в ответе 1 неверно, т.к. при х= -1 =2, в то время как в точке экстремума =0.

2) На промежутке (0;1) производная >0 (до некоторых значениях х), потом <0, т.е. на этом промежутке f(x) не является убывающей.

3) На промежутке (-1;0) >0 f(x) возрастает. Утверждение верно.

4) В окрестности точки х= -2 производная меняет знак (с – на +), а в точке х= -2 она равна О, т.е. х= -2 есть точка минимума.

О Т В Е Т: 3, 4.

20 Если у=f(x) является четной на отрезке , то ; если у=f(x) является нечетной на отрезке , то .

ЗАДАНИЕ №20 (выберите один вариант ответа)

Ненулевая функция у=f(x) является нечетной на отрезке . То равен...

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

1) 2)

3) 4) 0

О Т В Е Т: 4.

21 Комплексное число z=a+bi можно изобразить на плоскости Оху точкой М(а,b). В задании 11 мы показали, как найти полярные координаты r и φ (для точки М(а, b). Для комплексного числа z=a+b_i (оно изображается точкой М(а,b) r называют модулем, а φ – аргументом. При этом r= .

Комплексное число z=a+b_i, заданной алгебраической формой записи, можно представить в виде ) – комплексная форма записи. Если применить формулу Эйлера , то получим показательную форму записи комплексного числа . Заметим, что в тригонометрической форме и в показательной форме содержится одна и та же информация о данном комплексном числе. Именно: известно значение модуля комплексного числа (r) и аргумента комплексного числа (φ).

ЗАДАНИЕ №21 (выберите несколько вариантов ответа)

Комплексное число можно представить в виде...

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

1) 2)

3) 4)

Р Е Ш Е Н И Е

Судя по ответам, надо данное комплексное число представить в тригонометрической (и в показательной) форме.

у Найдем

M r= ,

^r ₀ ^x откуда (см.рисунок)

Получаем

Данное комплексное число представлено в ответах 2, 4.

О Т В Е Т: 2, 4.

22 Пусть даны 2 комплексных числа z₁ и z₂ в тригонометрической форме записи , или в показательной форме .

Тогда

ЗАДАНИЕ №22 (введите ответ)

Даны два комплексных числа z₁ и z₂

у y

Z₁ Z₂

0 х 0 x

Тогда аргумент частного (в градусах) равен...

Р Е Ш Е Н И Е

Здесь = arg z₁-arg z₂=150⁰-90⁰=90⁰.

О Т В Е Т: 90.

23 Действия над комплексными числами в алгебраической форме выполняются, как действия над алгебраическими выражениями (над двучленами).

Для чисел z₁=a₁+b₁i и z₂=a₂+b₂i сумма равна z₁+z₂=(a₁+a₂)+i(b₁+b₂).

Произведение можно найти так:

. Здесь использовали тот факт, что i²= -1.

Нетрудно найти

ЗАДАНИЕ №23 (выберите один вариант ответа):

Значение функции f(z)=z²+i в точке z₀=1+i равно...

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

1) 2+3i 2) 3+2i

3) 2i 4) 3i

Р Е Ш Е Н И Е

f(1+i)=(1+i)²+i=1+2i+i²+i=3i

О Т В Е Т: 4

24 Для функций комплексной переменной таблица производных строится аналогично. В частности, , и т.д.

ЗАДАНИЕ №24 (выберите один вариант ответа)

Если f(z)=5z²-7i , тогда значение производной этой функции в точке z₀=3-3i равно...

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

1) 30-3i 2) 3-3i

3) 30-30i 4) 3-30i

Р Е Ш Е Н И Е

.

При z=z₀=3-3i получим .

О Т В Е Т: 3.

25 Уравнение вида называется дифференциальным уравнением n-го порядка (здесь у=у(х), - производные этой функции).

Дифференциальное уравнение является уравнением первого порядка, а дифференциальное уравнение - уравнение второго порядка.

ЗАДАНИЕ №25 (выберите несколько вариантов ответа)

Среди перечисленных дифференциальных уравнений уравнениями первого порядка являются:

1) 2)

3) 4)

Р Е Ш Е Н И Е

Уравнения 1, 4 содержат производные второго порядка, они являются уравнениями второго порядка, а уравнения 2, 3 есть уравнения первого порядка.

О Т В Е Т: 2, 3.

26 Дифференциальные уравнения вида f₁(x)dx=f₂(y)dy называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

Общее решение этого уравнения:

ЗАДАНИЕ №26 (выберите один вариант ответа)

Общий интеграл дифференциального уравнения имеет вид:

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

1) 2)

3) 4)

Р Е Ш Е Н И Е

С помощью табличных интегралов получаем

.

О Т В Е Т: 3.

Напомним, что результат интегрирования можно проверить дифференцированием. В данном случае:

27 Дифференциальное уравнение вида решается с помощью интегрирования:

Например: а)

б)

ЗАДАНИЕ №27 (выберите один вариант ответа)

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

1) 2)

3) 4)

Р Е Ш Е Н И Е

Последовательно интегрируя, получим

=

О Т В Е Т: 3.

Для проверки решения можно найти для полученной функции: Получим исходное уравнение

Функция ответа 1) является решением данного уравнения, но это решение не является общим, функции ответов 2, 4 не являются решениями данного уравнения, в чем можно убедиться, выполнив дифференцирование.

28 Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами нетрудно найти, если известны корни характеристического уравнения.

Если исходное дифференциальное уравнение является уравнением второго порядка, то его характеристическое уравнение является квадратным уравнением. В случае, когда это квадратное уравнение имеет два различных корня , общее решение дифференциального уравнения равно линейной комбинацией функций и .

В случае, когда характеристическое уравнение имеет кратный корень k₁=k₂=k₀, то общее решение дифференциального уравнения равно линейной комбинацией функций и .

Если исходной линейное однородное дифференциальное уравнение является уравнением третьего порядка, то его характеристическое уравнение является кубическим уравнением (уравнением третьей степени).

Для случая, когда корни характеристического уравнения различные k₁,k₂,k₃ (различные действительные числа), общее решение дифференциального уравнения равно линейной комбинации функций , и .

Если окажется, что k₂=k₃, то общее решение равно линейной комбинацией функций , и .

ЗАДАНИЕ №28 (выберите один вариант ответа)

Общим решением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и характеристическими корнями k₁=k₂=5, k₃= -2 является...

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ:

1)

2)

3)

4)

Р Е Ш Е Н И Е

По корням характеристического уравнения строим функции . Общее решение дифференциального уравнения равно линейной комбинацией (с произвольными коэффициентами) этих функций, т.е. , что совпадает с ответом 4.

О Т В Е Т: 4.

29 Случайные события А и В называются несовместными, если они в рассматриваемых условиях не могут одновременно произойти; в противном случае они называются совместными.

Случайные события А и В называются независимыми, если вероятность одного из этих событий не зависит от того, произошло другое событие или не произошло; в противном случае они называются зависимыми.

ЗАДАНИЕ №29 (выберите несколько вариантов ответа)

Бросают две монеты. События А – «цифра на первой монете» и В – «герб на второй монете» являются:

ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ: