Применение последовательностей в экономических моделях

Рассмотрим примеры практического применения пределов числовых последовательностей в экономике и финансах.

Известно, что формула сложных процентов имеет вид

где

Q₀^- первоначальная сумма вклада в банк;

р - процент начисления за определенный период времени;

k - количество периодов времени хранения вклада;

Q_k - сумма вклада по истечении k периодов.

Если полагать, что проценты начисляются непрерывно, то справедлива формула , где m-kp/100 – процентная ставка, вычисленная за весь расчетный период и выраженная десятичной дробью.

Пример 1.13 Пусть начальный вклад равен 1000 денежных единиц, процентная ставка составляет 10% годовых, начисление процентов непрерывное. Требуется определить, какая сумма вклада будет по истечении двух лет при условии, что финансовый год равен 360 дням.

Решение

Ставка за весь период составит m=10% 2 100=0,2.

Введем исходные данные на рабочий лист, как показано на рисунке, и число n – достаточно большое.

В ячейку Е2 введем формулу для вычисления суммы вклада по истечении двух лет

=$D$2*((1+1:$A$2)^$A$2)^E2 (рис.1.16).

Рис. 1.16

Результат вычисления приведен на рисунке – Q_k=1221,40278 руб. (рис.1.17).

Рис. 1.17

Применение рядов в экономических моделях

Числовые ряды

Напомним, что числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел u₁, u₂,…, u_n…, соединенных знаком сложения:

Ряд считается заданным, если известен его общий член u_n=f(n). Сумма п первых членов ряда называется частичной суммой ряда. Для вычисления частичной суммы ряда в табличном процессоре нужно выполнить следующие шаги:

• вычислить п первых членов числовой последовательности;

• вычислить частичную сумму членов числовой последовательности.

Вычисление функциональных рядов

В отличие от числовых рядов членами функционального ряда являются функции. Ряд, составленный из функций одной и той же переменной х

называется функциональным.

Функциональные ряды находят практическое применение в финансовых вычислениях. Например, в задаче о сложных процентах при вкладе в банк Qo денежных единиц с ежегодной выплатой р процентов годовых функциональный ряд годовых приростов будет иметь вид

Q₀+Q₀p+Q₀(1+p)p+…+Q₀(1+p)n-1p+…=Q₀(1+p)n.

Для вычисления частичных сумм этого ряда в библиотеке табличного процессора есть специальная функция БС. Кроме того, есть несколько функций, предназначенных для вычисления различных параметров такого ряда. Так, функция КПЕР позволяет вычислить число членов ряда п по его частичной сумме, функция ПС вычисляет начальное значение Q₀ при заданном числе членов ряда п, частичной сумме ряда и величине процентной ставки.

Пример 1.14 В начале года цена товара составляла 1000 ден. ед. Инфляционные процессы в течение года по кварталам представлены в таблице 1.5.

Таблица 1.5

Квартал	Инфляция по отношению к предыдущему периоду (%)
I	3
II	2
III	3
IV	3

Требуется:

1. определить, какова должна быть цена товара в конце года, чтобы компенсировать влияние инфляции;

2. определить, какова будет реальная цена товара в ценах на начало года, если фактическая ее цена изменяться с целью компенсации влияния инфляции не будет.

Решение

Для решения задачи нужно определить итоговый процент инфляции на конец года. Он определится из следующей зависимости

,

где I₁ – начальная цена товара, равная 100%, I_k – процент инфляции за k-й период.

Нетрудно заметить, что приведенное выражение вычисляет частичную сумму ряда.

Решение и полученный результат приведены на рис. 1.18.

Рис. 1.18