2.2. Основные формулы и законы электромагнетизма

2.2.1. Электромагнетизм

Вектор магнитной индукции: ,

где Гн/м – магнитная постоянная; - магнитная проницаемость среды; - вектор напряженности магнитного поля.

Магнитный момент рамки с током: ,

где - сила тока; - площадь рамки; - единичный вектор нормали к поверхности рамки; направление вектора связано с направлением тока, текущего по рамки, правилом правого винта.

Механический момент сил, действующих на рамку с током в магнитном поле:

,

модуль которого , где и ; - угол между векторами и .

Работа, совершаемая силами магнитного поля при вращении рамки с током:

,

где и - углы между векторами и , соответственно, в начальном и конечном положениях вектора .

Потенциальная энергия рамки с током в магнитном поле: ,

где - угол между векторами и .

Закон Био-Савара-Лапласа:

,

где - вектор магнитной индукции поля, созданного элементом проводника с током , в точке, положение которой определяется радиус-вектором , проведенным от указанного элемента проводника; направление вектора совпадает с направлением тока, текущего по проводнику; - модуль радиус-вектора.

Модуль вектора :

,

где - модуль элемента проводника; - угол между векторами и .

Согласно принципу суперпозиции, вектор магнитной индукции результирующего поля в данной точке равен векторной сумме магнитных индукций , созданных полей: .

При наложении двух магнитных полей модуль вектора магнитной индукции результирующего поля в данной точке:

,

где и - модули векторов магнитных индукций полей, созданных в данной точке; - угол между векторами и .

Модуль вектора магнитной индукции поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током , в данной точке:

,

где - расстояние от данной точки до проводника с током.

Модуль вектора магнитной индукции поля, создаваемого отрезком прямого проводника с током :

,

где - расстояние от данной точки до прямой, проведенной вдоль проводника с током; и - углы между указанной прямой, направление которой определяется направлением тока, и радиус-векторами, проведенными из концов отрезка проводника в данную точку.

Модуль вектора магнитной индукции в центре кругового проводника с током :

,

где - радиус проводника.

Циркуляция вектора по замкнутому контуру : ,

где - вектор элемента контура, направление которого совпадает выбранным направлением обхода контура; - проекция вектора на касательную к контуру, направленную вдоль обхода контура; - угол между векторами и .

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме:

,

где - число проводников с токами, охватываемых контуром . Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода контура правилом правого винта. Ток противоположного направления является отрицательным.

Модуль вектора магнитной индукции внутри соленоида с током : ,

где - количество витков; - длина соленоида.

Модуль вектора магнитной индукции внутри тороида с током : ,

где - количество витков; - радиус средней окружности тороида.

По закону Ампера сила, действующая на элемент проводника с током в магнитном поле индукции :

,

где направление вектора определяется направлением тока, текущего по проводнику.

Модуль силы Ампера: ,

где - угол между векторами и .

Модуль силы взаимодействия двух прямых бесконечно длинных параллельных проводников с токами и , расположенных на расстоянии друг от друга, приходящейся на отрезок проводника длиной :

.

Сила Лоренца , действующая на электрический заряд , движущийся со скоростью в магнитном поле индукции : .

Модуль силы Лоренца: ,

где - угол между векторами и .

Если заряженная частица массой движется со скоростью , перпендикулярной вектору индукции , то радиус окружности, вдоль которой движется эта частица:

.

Поток вектора магнитной индукции через площадку (магнитный поток):

,

где ; - площадь площадки; - единичный вектор нормали к площадке ; - проекция вектора на единичный вектор нормали; - угол между векторами и .

В однородном поле ( поток вектора магнитной индукции через плоскую площадку :

,

где ; - площадь площадки; - единичный вектор нормали к площадке ; - угол между векторами и .

Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверхность :

.

Теорема Гаусса для магнитного поля индукции : поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

.

Полный магнитный поток (потокосцепление), сцепленный со всеми витками соленоида:

,

где - модуль вектора магнитной индукции; - количество витков;

- сила тока, текущего в соленоиде; - длина соленоида.

Работа, совершаемая силами Ампера по перемещению проводника с током в магнитном поле:

,

где – магнитный поток, пересеченный проводником.

Работа, совершаемая силами Ампера по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле:

,

где - изменение магнитного потока, пронизывающего контур; и – магнитные потоки через контур, соответственно, в начальном и конечном его положениях.

По закону Фарадея электродвижущая сила (Э.Д.С.) электромагнитной индукции, возникающая в проводящем контуре или соленоиде:

,

где - магнитный поток, пронизывающий контур или соленоид; - магнитный поток через один виток соленоида; - количество витков соленоида.

Разность потенциалов на концах прямого проводника длиной , движущегося со скоростью в однородном магнитном поле индукции , равна модулю Э.Д.С. электромагнитной индукции, возникающей в этом проводнике:

,

где – магнитный поток, пересеченный проводником за время ; - угол между векторами и .

Э.Д.С. электромагнитной индукции, возникающая в рамке, содержащей витков площадью , при вращении рамки с угловой скоростью относительно оси, проходящей через плоскость этой рамки, в однородном магнитном поле индукции :

,

где - магнитный поток, пронизывающий один виток рамки.

Магнитный поток , сцепленный с замкнутым контуром или соленоидом, по которому течет ток :

,

где - индуктивность контура.

Электродвижущая сила (Э.Д.С.) самоиндукции , возникающая в замкнутом контуре (соленоиде) при изменении силы тока в нем: .

Мгновенное значение силы тока в цепи, содержащей источник тока с Э.Д.С. , активное сопротивление и индуктивность :

а) после замыкания цепи: ;

б) после размыкания цепи: ,

где - сила установившегося тока при времени .

Амплитуды переменных Э.Д.С. и ,соответственно, в первичной и вторичной обмотках трансформатора связаны соотношениями: ,

где , и , - амплитуды переменных токов и количества витков, соответственно, в первичной и вторичной обмотках трансформатора.

Энергия магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре (соленоиде) индуктивностью :

.

Объемная плотность энергии однородного магнитного поля длинного соленоида:

.

Период собственных колебаний напряжения и тока в контуре, содержащем катушку с индуктивностью , конденсатор с электроемкостью и малое активное сопротивление:

.

Уравнения плоской монохроматической электромагнитной волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси :

,

,

где - проекция вектора напряженности электрического поля на ось , - проекция вектора напряженности магнитного поля на ось , и - амплитуды, соответственно, электрического и магнитного полей.

Скорость электромагнитной волны в среде, имеющей диэлектрическую проницаемость и магнитную проницаемость :

,

где - скорость электромагнитной волны (света) в вакууме;

- абсолютный показатель преломления среды.

Из уравнений Максвелла следует, что в электромагнитной волне:

,

где и - мгновенные значения напряженностей электрического и магнитного полей.

Объемная плотность энергии электромагнитной волны равна сумме объемных плотностей энергий электрического и магнитного полей:

,

где и - амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей.

Поскольку объемные плотности энергий электрического и магнитного полей равны, то объемная плотность энергии электромагнитной волны:

.