Часть 2. Электростатика и постоянный ток.

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

2.1. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ

И ПОСТОЯННОГО ТОКА

2.1.1. Электростатика

Закон Кулона:

,

где – модуль силы взаимодействия двух точечных зарядов q₁ и q₂; r – расстояние между зарядами; - диэлектрическая проницаемость среды; - электрическая постоянная: Ф/м.

Закон сохранения электрического заряда:

,

где – алгебраическая сумма зарядов, входящих в изолированную систему; n – количество зарядов.

Напряженность электрического поля в данной точке численно равна силе, действующей на единичный положительный заряд , помещенный в эту точку:

.

Модуль вектора напряженности электрического поля, создаваемого точечным зарядом на расстоянии от этого заряда: .

Поток вектора напряженности электрического поля через элементарную площадку :

,

где вектор ; - единичный вектор нормали к площадке ; - угол между векторами и .

Согласно принципу суперпозиции (наложения) электрических полей, напряженность результирующего поля, созданного точечными зарядами, равна векторной (геометрической) сумме напряженностей полей, созданных каждым зарядом в отдельности:

.

Для двух электрических полей с напряженностями и модуль вектора напряженности результирующего поля: ,

где и ; - угол между векторами и .

Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в вакууме:

,

где - поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность ; - проекция вектора на единичный вектор нормали к площадке ; - алгебраическая сумма электрических зарядов, находящихся в объеме пространства, ограниченного замкнутой поверхностью .

Линейная плотность заряда есть величина, равная отношению модуля заряда , распределенного по нити (цилиндру), к длине нити (цилиндра) :

Модуль вектора напряженности электрического поля, создаваемого прямой, бесконечно длинной и равномерно заряженной нитью (цилиндром) на расстоянии от ее (его) оси: .

Поверхностная плотность заряда есть величина, равная отношению модуля заряда , распределенного по поверхности, к площади этой поверхности: .

Модуль вектора напряженности электрического поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью: .

Модуль напряженности электрического поля, создаваемого двумя параллельными, бесконечными, разноименно заряженными плоскостями, имеющими одинаковые поверхностные плотности зарядов:

.

Приведенная формула справедлива для вычисления напряженности электрического поля между пластинами плоского конденсатора в случае, если расстояние между пластинами намного меньше линейных размеров пластин конденсатора.

Электрический диполь - система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов ( и ), находящихся на расстоянии друг от друга.

Электрический момент диполя:

,

где - вектор, направленный от отрицательного к положительному заряду, и называемый плечом диполя.

Модуль напряженности электрического поля диполя в точке, лежащей на прямой, совпадающей с осью диполя:

,

где - модуль электрического диполя, - расстояние от середины оси диполя до данной точки (при » ).

Модуль напряженности электрического поля диполя в точке, лежащей на перпендикуляре к плечу диполя, восстановленном из его середины:

,

где - расстояние от середины плеча диполя до данной точки (при » ).

Потенциал электрического поля диполя в точке, лежащей на прямой, совпадающей с осью диполя:

,

где - расстояние от середины оси диполя до данной точки (при » ); положительный знак соответствует потенциалу точки, лежащей на стороне заряда ; отрицательный знак – потенциалу точки, лежащей на стороне заряда .

Потенциал электрического поля диполя в точке, лежащей на перпендикуляре к плечу диполя, восстановленном из его середины: .

Механический момент сил, действующих на диполь с электрическим моментом , помещенный в однородное электрическое поле с напряженностью :

,

где - угол между векторами и ; .

Потенциал данной точки электрического поля численно равен работе , совершаемой силами поля, по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля в точку, в которой потенциал считается равным нулю:

.

В многих случаях потенциал электрического поля в бесконечности принимается равным нулю. Потенциал электрического поля, создаваемого точечным зарядом , на расстоянии от этого заряда:

.

Потенциал электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом с общим зарядом на расстоянии от центра этой сферы:

а) внутри сферы ( < ) и на поверхности сферы ( = ) - ;

б) вне сферы ( > ) - .

Потенциал электрического поля, созданного системой точечных зарядов, в данной точке, в соответствии с принципом суперпозиции электрических полей, равен алгебраической сумме потенциалов , создаваемых отдельными точечными зарядами

.

Совокупность точек, имеющих одинаковые потенциалы, называется эквипотенциальной поверхностью.

Потенциальная энергия электрического заряда , находящегося в некоторой точке электрического поля:

,

где - потенциал этой точки электрического поля.

Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещении точечного заряда из одной точки поля, имеющей потенциал , в другую, имеющую потенциал :

.

Энергия взаимодействия системы точечных электрических зарядов равна работе, которую могут совершить силы электрического поля при удалении этих зарядов относительно друг друга в бесконечность:

,

где - потенциал точки поля, в которой находится заряд , создаваемый всеми зарядами, кроме i-ым.

Если известен потенциал каждой точки электрического поля, то напряженность этого поля равна отрицательному градиенту потенциала:

,

где ; - частные производные функции по координатам ; - единичные векторы координатных осей .

В случае однородного электрического поля ( ) модуль напряженности этого поля:

,

где и - потенциалы двух точек, находящихся на эквипотенциальных поверхностях, расстояние между которыми равно .

Поляризованностью называется дипольный электрический момент единицы объема диэлектрика:

,

где - векторная сумма электрических дипольных моментов молекул;

- объем диэлектрика.

Если диэлектрик изотропный и внутри его напряженность электрического поля не слишком велика, то:

= æ ,

где æ – диэлектрическая восприимчивость вещества.

Поверхностная плотность связанных зарядов, индуцируемых внешним электрическим полем в диэлектрике: .

Диэлектрическая проницаемость среды: æ.

Вектор электрического смещения характеризует электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами при наличии диэлектрика, в котором индуцируются связанные заряды:

,

где - напряженность электрического поля внутри диэлектрика.

Вектор электрического смещения связан с поляризованностью :

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике:

где - поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность ; - проекция вектора на единичный вектор нормали к площадке ; - алгебраическая сумма свободных электрических зарядов, находящихся в объеме пространства, ограниченного замкнутой поверхностью _.

Электроемкость уединенного проводника, имеющего электрический заряд и потенциал : .

Электроемкость уединенной проводящей сферы радиусом , находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью : .

Электроемкость конденсатора: ,

где - модуль электрического заряда, находящегося на каждой обкладки конденсатора; - разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Электроемкость плоского конденсатора: ,

где - площадь одной обкладки конденсатора; - расстояние между обкладками конденсатора.

Электроемкость плоского конденсатора, заполненного слоями диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями и толщинами :

.

Электроемкость сферического конденсатора (две концентрические сферы с радиусами и ), пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью :

Электроемкость последовательно соединенных конденсаторов:

.

Электроемкость параллельно соединенных конденсаторов:

.

Энергия заряженного конденсатора: ,

где - электроемкость; - электрический заряд конденсатора; - разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Объемная плотность энергии электростатического поля (энергия единицы

объема): ,

где - модуль вектора напряженности электрического поля;

-модуль вектора электрического смещения.