Дифференциальные уравнения второго порядка Уравнения допускающие понижение порядка
1. Уравнение вида
Это уравнение не
содержит в явном виде искомой функции
у(х).
Сделаем замену
Тогда
2. Уравнение вида
Это уравнение не
содержит в явном виде аргумент х,
поэтому для его решения предлагается
замена
т.е. z
является функцией от у,
а не от х.
Тогда
Итак,
Пример 6.
Решить
уравнение
Решение:
1)
линейное
однородное уравнение первого порядка,
решение которого
2)
уравнение
с разделяющимися переменными.
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
для нахождения
линейно независимых решений
и
уравнения
надо записать по линейному однородному
дифференциальному уравнению второго
порядка характеристическое уравнение:
и решить его, т.е.
найти корни
и
.
Возможны три случая
1. Корни
и
характеристического уравнения
вещественные и различные
,т.е.
тогда
общее решение дифференциального
уравнения имеет вид:
2. Корни
и
характеристического уравнения
вещественные и равные друг другу
т.е.
тогда общее решение дифференциального
уравнения имеет вид:
3. Корни
и
характеристического уравнения
комплексно–сопряжённые
т.е.
где
тогда
общее решение дифференциального
уравнения имеет вид:
Пример 7. Решить
уравнение:
Решение:
Составим и решим характеристическое уравнение:
Мы получили действительные и различные корни, следовательно, общее решение данного уравнения находим по формуле:
Получим:
Задания для самостоятельного решения
1.Решить уравнение:
а)
б)
2.Найдите частное решение данного уравнения
а)
б)
3. Решить уравнение:
а)
б)
в)
г)
д)
4. Решить уравнение:
1)
2)
3)
5. Найдите частное
решение уравнения
удовлетворяющее
начальным условиям
6. Решить уравнение:
1)
2)
3)
4)
Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 2.2.
Самостоятельная работа №11
Тема: «Разложение функций в степенные ряды»
Цель: Закрепление умения использования формул Тейлора и Маклорена для разложения функций в степенные ряды.
Время выполнения: 6 часов
Теоретические сведения
Числовым рядом
называется бесконечная последовательность
чисел
,
соединенных знаком сложения:
Числа
называются
членами ряда,
а член
- общим или
n-м членом ряда.
Среди рядов особое место занимают степенные ряды, членами которых являются степенные функции аргумента х:
Действительные
числа
называются
коэффициентами ряда, х
– действительная переменная.
Рассмотренный степенной ряд расположен по степеням х.
Имеют место ряды,
расположенные по степеням
,
т.е. ряд вида
,
где
- некоторое постоянное число.
Для приложений важно уметь данную функцию f(x) разлагать в степенной ряд, т. е. функцию f(x) представлять в виде суммы степенного ряда.
Для любой функции
f(x),
определённой в окрестности точки
и имеющей в ней производные до (n+1)-го
порядка включительно, справедлива
формула
Тейлора:
где
,
-
остаточный член в форме Лагранжа.
Число с можно
записать в виде
,
где
.
Без остаточного члена имеем – многочлен Тейлора:
.
Если функция f(x)
имеет производные любых порядков (т. е.
бесконечно дифференцируема) в окрестности
точки
и остаточный член
стремится к нулю при
,
то из формулы Тейлора получается
разложение функции f(x)
по степеням
,
называемое рядом Тейлора:
.
Если в ряде Тейлора
положить
,
то получим разложение функции по степеням
x
в так называемый ряд Маклорена:
.
Формально ряд Тейлора можно построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в окрестности точки . Но отсюда ещё не следует, что он будет сходиться к данной функции f(x); он может оказаться расходящимся или сходиться, но не к функции f(x).
Пример1.
Разложить многочлен
в ряд Тейлора при
Решение:
Найдём производные данного многочлена:
В точке
имеем:
По формуле
получаем:
Пример 2. Записать формулу Тейлора и выражение остаточного члена для
при n = 4 и
Решение:
Формула Тейлора имеет вид:
где
Найдём производные функции в точке
Искомая формула имеет вид:
где и , т.е.
.
Для того чтобы ряд Тейлора функции f(x)
сходился к f(x)
в точке x,
необходимо и достаточно, чтобы в этой
точке остаточный член формулы Тейлора
стремился к нулю при
,
т. е.
.
Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
Для разложения функции f(x) в ряд Маклорена нужно:
1) Найти производные
;
2) Вычислить значения производных в точке ;
Написать ряд
для заданной функции и найти его интервал сходимости;
4) Найти интервал (-R; R), в котором остаточный член ряда Маклорена . Если такой интервал существует, то в нем функция f(x) и сумма ряда Маклорена совпадают.
Задание для самостоятельной работы:
Напишем формулу Тейлора и выражение остаточного члена для
при n=4
и
Разложить по степеням х элементарные функции:
Разложить в ряд Маклорена функции:
1)
2)
3)
4)
Рекомендуемая литература: 1.1, 2.2. 2.5.
Самостоятельная работа №12
Тема: «Действия над комплексными числами»
Цель: Закрепление навыков выполнения арифметических действий над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной форме.
Время выполнения: 2 часа
Теоретические сведения
Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:
Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда
a = c и b = d.
Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
a + c + i(b + d).
Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
ac – bd + i(ad + bc). |
На
комплексные числа можно смотреть как
на многочлены
с учётом равенства
то
и перемножать эти числа можно как
многочлены. В самом деле,
|
то есть как раз получается нужная формула.
Пример 1 Вычислить z1 + z2 и z1z2, где z1 = 1 + 2i и z2 = 2 – i.
Решение:
Имеем
Ответ. z1 + z2 = 3 + i, z1z2 = 4 + 3i.
Геометрической интерпретацией действительных чисел является действительная прямая. Любому комплексному числу z = x + iy можно поставить в соответствие точку координатной плоскости. На оси абсцисс откладывается действительная часть комплексного числа, а на оси ординат – мнимая часть.
Любому
комплексному числу z = a + ib
соответствует вектор
и
наоборот, каждому вектору
соответствует,
и притом единственное, число z = a + ib.
Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу:
Аргументом
комплексного числа z = a + ib
(z ≠ 0)
называется величина угла между
положительным направлением действительной
оси и вектором
величина
угла считается положительной, если угол
отсчитывается против часовой стрелки,
и отрицательным в противном случае.
Угол φ, аргумент комплексного числа, обозначается φ = arg z. Для числа z = 0 аргумент не определён.
Существует такое число z = 0, которое обладает свойством
z + 0 = z |
Для любых двух чисел z1 и z2 существует такое число z, что z1 + z = z2. Такое число z называется разностью двух комплексных чисел и обозначается z = z2 – z1.
Для любого комплексного числа z:
z · 1 = z. |
Для
любых двух чисел
и
существует
такое число z,
что
Такое
число z
называется частным
двух комплексных чисел и обозначается
Деление
на 0 невозможно.
Если
число z = a + bi,
то число
называется комплексно
сопряжённым
с числом z.
Комплексно сопряжённое число обозначается
Для этого числа справедливы
соотношения:
|
|
|
Пример 2 Найдите число, сопряжённое к комплексному числу (1 + 2i)(3 – 4i).
Решение:
Имеем
.
Следовательно,
Ответ. 11 – 2i.
Пример 3
Вычислите
Решение:
Имеем
Ответ. i.
Та запись комплексного
числа, которую мы использовали до сих
пор, называется алгебраической
формой записи комплексного числа.
Часто бывает удобна немного другая
форма записи комплексного числа. Пусть
и
φ = arg z.
Тогда по определению аргумента
имеем:
|
Отсюда получается
z = a + bi = r(cos φ + i sin φ). |
Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.
Пример 4
Записать число
в
тригонометрической форме.
Решение:
Найдём
модуль этого числа:
Аргумент
данного числа находится из
системы
|
Значит,
один из аргументов числа
равен
Получаем:
|
Ответ. 
Арифметические действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, производятся следующим образом. Пусть z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1) и z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2). Имеем:
|
|
Отсюда следует, что для того чтобы перемножить n комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы: если φ1, φ2, ..., φn – аргументы чисел z1, z2, ..., zn, то
|
|
В частности, если все эти числа равны между собой, то получим формулу, позволяющую возводить комплексное число в любую натуральную степень.
Первая формула Муавра:
|
Пример 4
Вычислить
если
Решение:
Данное
число в тригонометрической форме имеет
вид
По
первой формуле Муавра получаем:
|
Ответ. 
Число z
называется корнем
степени 
из комплексного числа w,
если
Корень
степени
обозначается
.
Пусть теперь число w
фиксировано. Найдём z
из уравнения
Вторая формула Муавра:
|
Пример 5
Найти
Решение:
Представим число –1 в тригонометрической форме:
|
По второй формуле Муавра получаем:
|
Получаем последовательно:
|
|
|
Ответ. 