Теоретические сведения
Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл, т. е - результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b.
Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем у постоянным.
Пример 1. Поменять порядок интегрирования:
Решение:
Изобразим область интегрирования.
Итак, х изменяется от 0 до 1, т.е. от прямой х=0 до прямой х=1, а у изменяется от 0 до х, т.е. от прямой у=0 до прямой у=х.
П
олучим:
Интеграл
взят в направлении вдоль оси Оу, изменив
направление вдоль оси Ох мы получим:
Объем тела
где
-
уравнение поверхности, ограничивающей
тело сверху.
Площадь плоской фигуры
Масса плоской фигуры
Масса плоской
фигуры D
с переменной плотностью
находится по формуле
Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры
Статические моменты фигуры D относительно осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам
и
Координаты центра масс фигуры
и
.
Пример 2. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: х+у=2, х=0 и у=0.
Решение:
Изобразим данную область на чертеже.
Площадь плоской
фигуры вычисляется по формуле
Получим:
Пример 3. Найдите с помощью двойного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями: x+y+z=1, x=0, y=0, z=0.
Решение:
Объём тела,
вычисляется по формуле:
Область D
– плоская область, которая является
основанием данного тела в плоскости
Оху. В данном случае она ограниченна
прямыми х=0, у=0, х+у=1. Изобразим её:
z(x; y)=1-x-y
П
олучим:
Задания для самостоятельной работы
1. Поменять порядок интегрирования:
1)
2)
3)
4)
2. Вычислить следующие интегралы:
2)
3.
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной
линиями:
4. Найдите с помощью двойного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями: z=1+x+y, x+y=1, x=0, y=0, z=0.
5. Найдите с помощью двойного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями: z=x+y, x+y=1, x=0, y=0, z=0.
6. Найдите координаты
центра тяжести однородной пластинки,
ограниченной линиями
7. Найдите момент инерции относительно оси Ох пластинки, ограниченной прямыми у=2+х, у=2-х, у=0, если плотность постоянна и равна единице.
Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 2.2.
Самостоятельная работа №10
Тема: «Решение дифференциальных уравнений»
Цель: Закрепление умения решать дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, линейные уравнения первого порядка, решать задачу Коши, линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
Время выполнения: 6 часов
Теоретические сведения
Уравнение называется дифференциальным относительно некоторой искомой функции, если оно содержит хотя бы одну производную этой функции.
Порядок наивысшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.
1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Пример 1. Решить
уравнение
Решение:
З
апишем
это уравнение в виде
2. Однородным
дифференциальным
уравнением первого порядка называется
уравнение вида
в котором функции M(x;y)и
N(x;y)
однородные одного и того же измерения.
Однородные уравнения
решаются с помощью подстановки
Пример 2. Решить
уравнение
если
Решение:
Пусть
Подставив y и dy в данное уравнение, получим
(уравнение с разделяющимися переменными).
Обратная замена даёт общее решение
Для
нахождения частного условия воспользуемся
условием
Тогда
или
Пример 3.
Решить уравнение
Решение:
Воспользуемся подстановкой:
Получим:
Вычислим интеграл
отдельно:
Таким образом,
Обратная замена переменной даёт общее решение:
3.
Линейным
дифференциальным уравнением первого
порядка называется
уравнение
где p(x)
и q(x)
– заданные непрерывные в интервале
(a;b)функции.
Общее решение данного уравнения находим по формуле:
Если q(x)=0, то данное уравнение называется линейным однородным уравнением первого порядка; в противном случае – линейным неоднородным уравнением первого порядка. Следовательно, линейное однородное уравнение первого порядка имеет вид
Формула общего решения данного уравнения имеет вид:
Пример 4. Решить
уравнение
Решение:
Воспользуемся формулой
Получим:
Пример 5. Решить
уравнение
Решение:
Воспользуемся формулой
В данном уравнении
подставим
эти функции в формулу, получим:
Вычислим интеграл
отдельно:
Таким образом:
