Общие требования к оформлению и выполнению самостоятельной работы
Форма отчетности:
самостоятельные работы требуется выполнять в отдельной тетради для самостоятельных работ;
каждая работа должна содержать:
номер и название самостоятельной работы;
цель работы;
условия заданий;
подробное решение заданий.
Самостоятельная работа №1
Тема: «Вычисление определителей матрицы»
Цель: Закрепление умения вычислять, миноры, алгебраические дополнения и определители четвертого порядка разложением по элементам строки (столбца).
Время выполнения: 2 часа
Теоретические сведения
Квадратной матрице
А порядка n можно сопоставить число det
A (или
,
или
),
называемое её определителем,
следующим образом:
если
,
то
и
;если
,
то
и
;если
,
то
и
Определитель матрицы А также называют её детерминантом.
Вычисление определителя 2-го порядка иллюстрируется схемой:
Пример 1. Найти
определители матриц:
и
.
Решение:
При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое схематически можно записать так:
Пример 2. Вычислить определитель матрицы
Решение:
Для вычисления определителей более высоких порядков используются понятия минора и алгебраического дополнения.
Минором
некоторого
элемента
определителя
n-го порядка называется определитель
(n – 1)-го порядка, полученный из данного
путём вычёркивания строки и столбца,
на пересечении которых находится
выбранный элемент. Минор каждого элемента
обозначается символом
.
Так, если
,
то
,
.
Алгебраическим
дополнением элемента
определителя называется его минор,
умноженный на
,
т.е.
Так,
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.
Например,
Данное свойство содержит в себе способ вычисления определителей высоких порядков.
Пример 3. Вычислите
определитель
.
Решение:
Задание для самостоятельной работы
Вычислить определители:
Рекомендуемая литература: 1.1, 2.1.
Самостоятельная работа №2
Тема: «Решение систем линейных уравнений»
Цель: Закрепление навыков решения систем линейных уравнений по правилу Крамера, матричным методом и методом Гаусса.
Время выполнения: 4 часа.
Теоретические сведения
Пусть дана система
из n
линейных уравнений с n
неизвестными
(1)
Числа
называются коэффициентами
системы
(1), а числа
-
свободными
членами.
Система линейных
уравнений называется однородной,
если
.
Матрица называется матрицей системы (1), а её определитель - определителем системы (1).
Решением системы
(1) называется
совокупность чисел,
,
которые обращают все уравнения системы
в тождества.
Система, у которой число неизвестных равно числу уравнений, называется совместной. В противном случае система называется несовместной.
Правило Крамера. (Крамер Г. (1704-1752) – швейцарский математик)
Решение системы (1) n линейных уравнений с n неизвестными удобно записывать и вычислять с помощью определителей.
Главным определителем системы называется определитель матрицы А, составленный из коэффициентов при неизвестных, т.е., .
Определитель
получится из главного определителя
заменой в нём первого столбца столбцом
свободных членов, определитель
- заменой второго столбцом свободных
членов и т.д.
Неизвестные
находятся из соотношений:
.
Пример 1. Решить систему уравнений методом Крамера.
Решение:
Проверка:
Ответ:
Матричный способ решения систем линейных уравнений
Систему (1) запишем
в матричной форме
,
где
,
и
.
Если
,то
матрица А имеет обратную и система (1)
имеет единственное решение, которое
находится по формуле
.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Элементарные преобразования матриц
Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;
Умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;
Прибавление к элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.
Две матрицы А
и В
называются эквивалентными,
если одна из них получается из другой
с помощью элементарных преобразований.
Записывается
.
Расширенной матрицей назовём следующую матрицу:
С помощью элементарных
преобразований матрицу
по методу Гаусса можно привести к виду:
Тогда
Для формализации преобразования матрицы введём правило прямоугольника.
Рассмотрим прямоугольник из 4-ёх элементов матрицы :
Назовём элемент
ведущим, строку, в которой он стоит -
ведущей
строкой. По правилу
прямоугольника
пересчитывается элемент, стоящий по
диагонали от ведущего элемента по
следующей формуле:
Очевидно, что
формула упростится, если ведущий элемент
.
Поэтому, если в системе есть элементы
равные 1, то их рекомендуется выбирать
ведущими.
Для проверки верности счёта к расширенной матрице приписывается столбец сумм, элементы которого равны построчным суммам матрицы . Над элементами контрольного столбца производятся те же операции, что и над элементами матрицы . Если сумма строки равна соответствующему элементу контрольного столбца, рассчитанного по правилу прямоугольника, то счёт ведётся верно, в противном случае следует искать ошибку в счёте.
Пример 3. Решить систему уравнений:
Решение:
Выпишем матрицу ; припишем к ней контрольный столбец.
За ведущий элемент примем 1, стоящую в первой строке и 3–ем столбце (Ведущими можно выбирать только элементы основной матрицы, т.е. матрицы без столбца свободных членов). Ведущую строку перепишем без изменения, в ведущем столбце запишем нули, все остальные элементы пересчитаем по правилу прямоугольника:
т.е.
Пример пересчёта элемента 2, стоящего во второй строке и первом столбце:
Пример пересчёта элемента -1, стоящего во второй строке и втором столбце:
Далее примем за ведущий элемент единицу, стоящую в третьей строке и первом столбце. Третью строку и третий столбец перепишем без изменения, в первом столбце запишем нули, остальные элементы пересчитаем по правилу прямоугольника:
т.е.
Разделим вторую строку на 2 (это равносильно делению обеих частей уравнения на 2), получим
Выбираем ведущей 1, стоящую во второй строке и втором столбце (заметим, что строка и столбец могут быть ведущими только 1 раз).
Вторую строку, первый и третий столбцы переписываем без изменения, во втором столбце записываем нули, остальные элементы пересчитываем по правилу прямоугольника.
т.е.
Таким образом
получили ответ
