Теоретический материал

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную , искомую функцию и ее производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

, , .

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

.

Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные:

,

а затем проинтегрировать обе части полученного равенства:

.

Уравнение вида , где и - функции от , называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. В частности и могут быть постоянными величинами.

Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где и - новые функции от .

Примеры

Задание 1: Найдите общее решение уравнения .

Решение: Разделив переменные, имеем . Интегрируем обе части полученного уравнения:

; .

Так как произвольная постоянная может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо мы написали . Потенцируя последнее равенство, получим .

Это и есть общее решение данного уравнения.

Задание 2: Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям при .

Решение: Разделив переменные, имеем . Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

; ,

или

, .

Это общее решение данного уравнения. Для нахождения значения произвольной постоянной подставим значения и в выражение для общего решения: , или , откуда .

Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, имеет вид .

Задание 3: Найдите общее решение уравнения .

Решение: Это линейное уравнение: здесь , . Положим и продифференцируем это равенство по :

.

Подставив теперь выражения для и в данное уравнение, получим

,

или

. ()

Так как одну из вспомогательных функций или можно выбрать произвольно, то в качестве возьмем одно из частных решений уравнения . Разделив в этом уравнении переменные и проинтегрируя, имеем , ; , (произвольную постоянную принимаем равной нулю, так как находим одно из частных решений).

Подставим теперь выражение для в уравнение (); тогда получим уравнение , или .

Отсюда находим ; .

Зная и , теперь получим общее решение данного уравнения:

.