Задания для самостоятельной работы

1. Вычислить повторные интегралы:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

2. Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями:

1) , , ;

2) , , ;

3) , , , , ;

4) , , , ;

5) , , ;

6) , , , .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется интегральной суммой функции в области ?

2. Дайте определение двойного интеграла.

3. Перечислите основные свойства двойного интеграла.

4. Какие случаи расположения области относительно осей координат возникают при вычислении двойных интегралов? Запишите формулы вычисления двойных интегралов для каждого из этих случаев.

5. Какие интегралы называются повторными или двукратными?

Практическое занятие №19

Тема: Решение задач на приложения двойных интегралов

Цель: Формирование навыков решения задач на приложения двойных интегралов

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ

Теоретический материал

Площадь плоской области в прямоугольных координатах вычисляется по формуле

; (1)

а в полярных координатах – по формуле

. (2)

Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , снизу областью и сбоку прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости область (рис. 1), вычисляется по формуле

(3)

Примеры

Задание: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , , , .

Решение: Тело, ограниченное заданными поверхностями, представляет собой вертикальный параболический цилиндр, расположенный в первом октанте. Сверху тело ограничено плоскостью , сбоку параболическим цилиндром и плоскостями и . Найдем точки пересечения параболы и прямой : . Таким образом, получим одну точку пересечения .

Значение не рассматриваем, так как цилиндр расположен в первом октанте. Область запишем в виде системы неравенств и .

Согласно формуле (3), получим

(куб. ед.)

Задания для самостоятельной работы

1. Вычислить площадь плоской фигуры в прямоугольных координатах, если область ограничена линиями:

1) , ; 2) , , ;

3) , ; 4) , ;

5) , ; 6) , .

2. Вычислите объемы тел, ограниченных заданными поверхностями:

1) , , , , ;

2) , , , , ;

3) , , , , ;

4) , , , , ;

5) , , , .

Вопросы для самоконтроля:

1. По какой формуле вычисляется площадь плоской области в прямоугольных координатах?

2. По какой формуле вычисляется площадь плоской области в полярных координатах?

3. По какой формуле находится объем тела, ограниченного поверхностями?

Практическое занятие №20

Тема: Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными; однородных дифференциальных уравнений первого порядка и линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Цель: Формирование навыков решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными; однородных дифференциальных уравнений первого порядка и линейных дифференциальных уравнений первого порядка

На выполнение практической работы отводится 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы

2.Оформить задания в тетради для практических работ