Національний технічний університет України
“Київський політехнічний інститут”
ФІОТ
АУТС
Контрольная работа №1
з курсу «Основи дискретної математики»
Виконав студент групи
Київ 2009
Тема 1.1
Вправа 1. Нехай маємо універсальну множину U = {a,b,c,d,e,f,g,h}. Необхідно задати об’єднання, перетин, різницю множин S та T, доповнення множини S до множини U, доповнення множини S T до множини U.
Варіанти задання множин S та T:
S = {a,b,c}; T = {b,c,f}; 6) S = {g,d,f,a};T = {b,c,e};
S = {d,f,g}; T = {d,g,h}; 7) S = {a};T = {a,b,f,h};
S = {a,b,c,d};T = {d,e,f,g}; 8) S = {a,b,e,f};T = ;
S = {h,g,d};T = {a,b,d,g}; 9) S = U;T = {a,b,e,h};
S = {g,d,b,c};T = {b,c,d}; 10) S = U;T = .
Розв’язок:
S = {h,g,d};T = {a,b,d,g}
ST = {h,g,d,a,b}
SÇT = {g,d}
S \ T = {h}
S’ = {a,b,c,e,f}
(SÇT)’ = {a,b,c,e,f,h}
Вправа 2. Навести множину всіх підмножин множини S із вправи 1.
Розв’язок:
S = { h,g,d } {,{h},{g},{d},{h,g},{g,d},{h,d},{ h,g,d }}
Вправа 3. Нехай S та T - множини із вправи 1. Необхідно задати:
1. Функцію із множини S в множину T: а) довільну; б) ін’єктивну; в) сюр’єктивну; г) бієктивну.
Розв’язок:
S = { h,g,d };T = {a,b,d,g}
а) S T : F1 = {(h,a),(g,a),(d,b)}
б) S T : F2 ={(h,a),(g,b),(d,d)}
в) S T : F3 –не існує.
г) S T : F4 –не існує.
2. Довільну функцію із множини T в множину S.
Розв’язок:
S = {h,g,d};T = {a,b,d,g};
T S : P1 {(a,h),(b,g),(d,g),(g,d)}
3. Ліву та праву композиції функції із множини T в множину S та функції із множини S в множину T.
Розв’язок:
P1 ◦ F1 - не існує лівої композиції.
P1 ◊ F1={(h,g),(g,g),(d,g)} - ліва композиція;
4. Функцію із множини S в множину S.
Розв’язок:
S = {h,g,d};
S S : K1 = {(h,g),(g,d),(d,h)}
5. Тотожні функції 1S та 1T.
Розв’язок:
S = {h,g,d};T = {a,b,d,g};
1S={(h,h),(g,g),(d,d)}
1T={(a,a),(b,b),(d,d),(g,g)}
6. Обернену зправа та зліва для бієктивної функції із множини S в множину T.
Розв’язок:
S = {a,b,c,d};T = {d,e,f,g}
F5 = {(a,d),(b,c),(c,f),(d,g)}
F5 - бієктивна функція із множини S в множину T.
F’5= {(d,a), (c,b), (f,c), (g,d)} – обернена зліва для функції F5 ;
F’’5= {(d,a), (e,b), (f,c), (g,d)} - обернена зправа для функції F5 .
7. Обернену зправа та зліва для ін’єктивної, але не сюр’єктивної функції із множини S в множину T.
Розв’язок:
S = {h,g,d};T = {a,b,d,g}
F6 = {(h,a),(g,b),(d,d)}
F6 - ін’єктивна, але не сюр’єктивна функція із множини S в множину T.
F’6= {(a,h), (b,g), (d,d)} – обернена зліва для функції F6 ;
F’’6 – оберненої зправа не існує.
8. Обернену зправа та зліва для сюр’єктивної, але не ін’єктивної функції із множини S в множину T.
Розв’язок:
S = {g,d,b,c};T = {b,c,d}
F7 = {(g,b),(d,c),(b,d)}
F7 - сюр’єктивна, але не ін’єктивна функція із множини S в множину T.
F’’7= {(b,g), (c,d), (d,b)} – обернена справа для функції F7 ;
F’7 – оберненої зліва не існує.
Вправа 4. Чи для всіх пар множин S та Т із вправи 1 можливо задати бієктивну функцію із множини S в множину T?
Розв’язок:
Можна для : 1),2),3),9).
Не можна для : 4),5),6),7),8),10).
Вправа 5. Чи існують обернена зліва та справа функції для функції, яка не є ні ін’єктивною, ні бієктивною?
Розв’язок:
Як ми побачили у вправі 3(8), якщо при цьому функція є сюр’єктивною, то для неї існує лише обернена справа функція.
Якщо функція не ін’єктивна не бієктивна і не сюр’єктивна, розглянемо приклад:
S={a,b,c}, T={d,e,f}
F8={(a,d),(b,d),(c,e)} – не ін’єктивна і не сюр’єктивна функція із множини S в множину T.
F’8= {(d,a), (d,b), (e,c)} – обернена зліва для функції F8 ;
F’’8 – оберненої справа не існує.
Вправа 6. На довільних множинах задати функції такі, щоб серед них була сюр’єктивна, ін’єктивна, бієктивна.
Розв’язок:
A = {a,b,c,d}
B = {e,f,g,h}
Ін’єктивна : C = {(a,h),(b,e),(c,f),(d,g)}
Сюр’єктивна : C = {(a,f),(b,g),(c,h),(d,e)}
Бієктивна : C = {(a,e),(b,f),(c,g),(d,h)}
Вправа 7. Нехай Z - множина цілих чисел, z Z . Встановити властивості функцій, які задані такими відображеннями:
a) z z 2 ; б) z - z ; в) z 2 z ; г) z z+1 ; д) z |z| .
Розв’язок:
z z 2 - не ін’єктивна, не сюр’єктивна, не бієктивна;
z - z - ін’єктивна, сюр’єктивна, бієктивна;
z 2 z - ін’єктивна, не сюр’єктивна, не бієктивна;
z z+1 - ін’єктивна, сюр’єктивна, бієктивна;
z |z| - не ін’єктивна, не сюр’єктивна, не бієктивна.
Вправа 8. Необхідно задати чи установити відсутність обернених зліва та зправа функцій для таких функцій, які задані на множині цілих чисел (х,у Z):
1) y = x2; 2) y = x; 3) y = x3; 4) y = 2x;
5) y = x +1; 6) y = x2 + x; 7) y = x4; 8) y = |x|.
Розв’язок:
y = f0(y) = 2x . Ця функція ін’єктивна, не сюр’єктивна ( наприклад, число 3 не може бути значенням функції для жодного аргументу) і не бієктивна.
Ліву обернену функцію x= f1(y); f1: Z Z для функції f0 знаходимо з рівняння f1 ◦ f0 = 1Z . Аналізуємо рівняння. Кожному цілому числу функція f0 ставить у відповідність число в четвертому степені. Права частина рівняння вимагає відобразити цей степінь в вихідне число. Очевидно, це може забезпечити функція x= f1(y) =y/2. Дійсно, підставляючи функцію f1(y) у рівняння, впевнимося у тому, що воно обертається на тотожність.
Праву обернену функцію x= f2(y) знаходимо, розв’язуючи рівняння f0 ◦ f2 = 1Z . Природно, що функція x = y/2 претендує й на місце правої оберненої функції. Дійсно, підставляючи функцію f2(y) у рівняння, впевнимося у тому, що воно обертається на тотожність.
Вправа 9. Нехай S та T - множини із вправи 1. Необхідно задати довільне бінарне відношення між множинами S та Т за допомогою: а) графіка; б) матриці.
Розв’язок:
S = {h,g,d};T = {a,b,d,g};
а) ST = {(h,a),(g,b),(d,d)}
h g d
a 1 0 0
б) ST = b 0 1 0
d 0 0 1
g 0 0 0
Вправа 10. Нехай задана множина Х. Необхідно задати за допомогою графіка відношення на Х: а) довільне; б) рефлексивне; в) симетричне; г) антисиметричне; д) транзитивне; е) таке, що мало б змістовну інтерпретацію.
Варіанти задання множини Х:
1) X = {1,2,3,4,5,6}; 2) X = {a,b,c,d,f};
3) X = {5,6,7,8,9,10}; 4) X = {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}.
Розв’язок:
X = {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}.
{(000,001),(001,010),(010,011),(011,100),(100,101)} - довільне
{(000,000),( 001,001),( 010,010),( 011,011)} - рефлексивне
{(000,001),(001,010),(001,000),(010,001)} - симетричне
{(000,000),(000,001),(001,001),(001,010),(001,011),(010,010),(011,011),(011,10 0),(010,100),(100,100),(100,101),(101,101)} - антисиметричне
{(000,001),(001,010),(010,011),(000,010),(000,011),(001,011)} - транзитивне
{(000,000), (000,001), (000,010), (000,011), (000,100), (000,101), (001,001), (001,011), (001,101), (010,010), (010,101), (011,011), (100,100), (101,101)}-це відношення можна задати, як відношення "x1 ділить x2 націло", де (x1, x2) - кожна пара з графіка відношення.
Вправа 13. Перевірити виконання властивостей а) комутативності, б) дистрибутивності, в) асоціативності, г) доповнення та д) подвійного доповнення операцій над множинами S та Т із вправи 1.
Розв’язок:
S = {h,g,d};T = {a,b,d,g};U = {a,b,c,d,e,f,g,h};R={b,g}
а) ST = TS
{h,g,d}{a,b,d,g}= {a,b,d,g}{h,g,d}
{a,b,d,g,h}={a,b,d,g,h}
SÇT = TÇS
{h,g,d}Ç{a,b,d,g} = {a,b,d,g}Ç{h,g,d}
{d,g}={d,g}
б) S(RÇT) = (SR)Ç(ST)
{h,g,d}({b,g}Ç{a,b,d,g}) = ({h,g,d}{b,g})Ç({h,g,d}{a,b,d,g})
{h,g,d}{b,g} = {h,g,d,b}Ç{h,g,d,b}
{h,g,d,b}= {h,g,d,b}
SÇ(RT) = (SÇR)(SÇT)
{h,g,d}Ç({b,g}{a,b,d,g}) = ({h,g,d}Ç{b,g})({h,g,d}Ç{a,b,d,g}
{h,g,d}Ç{b,g,a,d} = {g}{g,d}
{g,d} = {g,d}
в) S(RT) = (SR)T
{h,g,d}({b,g}{a,b,d,g}) = ({h,g,d}{b,g}){a,b,d,g}
{h,g,d}{a,b,d,g} = {h,g,d}{a,b,d,g}
{a,b,d,g,h} = { a,b,d,g,h }
SÇ(RÇT) = (SÇR)ÇT
{h,g,d}Ç({b,g}Ç{a,b,d,g}) = ({h,g,d}Ç{b,g})Ç{a,b,d,g}
{h,g,d}Ç{b,g} = {g}Ç{a,b,d,g}
{g} = {g}
г) SS’ = U
{h,g,d }{a,b,c,e,f,h} = {g,d,b,c,a,e,f,h}
SÇS’ = Ø
{h,g,d }Ç{ a,b,c,e,f,h} = Ø
д) (S’)’ = S
({h,g,d }’)’ = { a,b,c,e,f,h }’ = {h,g,d }
Вправа 14. Перевірити результати виконання операцій а) об’єднання та б) перетину множин S та Т вправи 1, коли в якості одного з операндів виступає множина U чи Ø.
Розв’язок:
S = {h,g,d};T = {a,b,d,g};U = {a,b,c,d,e,f,g,h};
а) SU = U
{h,g,d}{a,b,c,d,e,f,g,h} = {a,b,c,d,e,f,g,h}
SØ = S
{h,g,d}Ø = {h,g,d}
б) SÇU = S
{h,g,d}Ç{a,b,c,d,e,f,g,h} = {h,g,d}
SÇØ = Ø
{h,g,d}ÇØ = Ø
Вправа 15. Задати відношення часткового порядку на множині:
1) A = {a1, a2, a3, a4, a5, a6} ; 2) B = {b1, b2, b3, b4, b5, b6};
3) C = {c1, c2, c3, c4, c5, c6}; 4) D = {d1, d2, d3, d4, d5, d6};
5) E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6}; 6) F = {f1, f2, f3, f4, f5, f6};
7) G = {g1, g2, g3, g4, g5, g6}; 8) H = {h1, h2, h3, h4, h5, h6};
9) I = {i1, i2, i3, i4, i5, i6}; 10) J = {j1, j2, j3, j4, j5, j6};
11) K = {k1, k2, k3, k4, k5, k6}; 12) L = {l1, l2, l3, l4, l5, l6};
13) M = {m1, m2, m3, m4, m5, m6};14) N = {n1, n2, n3, n4, n5, n6};
15) P = {p1, p2, p3, p4, p5, p6}; 16) R = {r1, r2, r3, r4, r5, r6}.
Розв’язок:
P = {d1, d2, d3, d4, d5, d6};
a1={(d1,d1), (d2,d2), (d3,d3), (d4,d4), (d5,d5), (d6,d6), (d1,d2), (d1,d3), (d1,d4), (d1,d5), (d1,d6), (d2,d3), (d2,d4), (d2,d5), (d2,d6), (d3,d4), (d3,d5), (d3,d6), (d4,d5), (d4,d6), (d5,d6)}
a1={(d1,d1), (d2,d2), (d3,d3), (d4,d4), (d5,d5), (d6,d6), (d1,d2), (d1,d3), (d1,d4), (d1,d5), (d1,d6), (d2,d4), (d2,d6), (d3,d5), (d3,d6), (d4,d6), (d5,d6)}
a1={(d1,d1), (d2,d2), (d3,d3), (d4,d4), (d5,d5), (d6,d6), (d1,d2), (d2,d3), (d1,d3)}
a1={(d1,d1), (d2,d2), (d3,d3), (d4,d4), (d5,d5), (d6,d6), (d1,d2), (d2,d3), (d4,d5), (d4,d6), (d5,d6)} є рефлексивними, антисеметричними, транзитивними; отже, ці відношення – відношення часткового порядку.
Вправа 25. Задати частковий порядок на множинах із вправи 15 та встановити межі та грані для підмножини, яка містить: а) перший, третій та п’ятий елементи; б) другий, третій та четвертий елементи.
Розв’язок:
P = {d1, d2, d3, d4, d5, d6};
Нехай P впорядкована за допомогою відношення {(d1,d1), (d2,d2), (d3,d3), (d4,d4), (d5,d5), (d6,d6), (d1,d2), (d1,d3), (d1,d4), (d1,d5), (d1,d6), (d2,d3), (d2,d4), (d2,d5), (d2,d6), (d3,d4), (d3,d5), (d3,d6), (d4,d5), (d4,d6), (d5,d6)}. Тоді для підмножини Pα = {d1, d3, d5} верхні межі - d5 , d6, верхня грань - d5, нижня межа та грань - d1. А для підмножини Pб = {d2, d3, d4} верхні межі - d4, d5, d6, нижні - d1, d2, верхня грань - d4, нижня - d2.
Вправа 26. На кожній множині вправи 15 задати відношення часткового порядку, яке визначає решітку, але не перетворює множину у лінійно впорядковану.
Розв’язок:
P = {d1, d2, d3, d4, d5, d6};
{(d1,d1), (d2,d2), (d3,d3), (d4,d4), (d5,d5), (d6,d6), (d1,d2), (d1,d3), (d1,d4), (d1,d5), (d1,d6), (d2,d3), (d2,d4), (d2,d5), (d2,d6), (d3,d4), (d3,d5), (d3,d6), (d4,d5), (d4,d6), (d5,d6)}
Вправа 32. Частково впорядковані множини задані діаграмами Хассе. Необхідно встановити для кожної з частково впорядкованих множин, чи є вона решіткою. Якщо відповідь негативна, то обгрунтувати її. Варіанти діаграм Хассе:
Розв’язок:
6) Решітка – це частково впорядкована множина, кожні два элементи якої мають нижню і верхню грані.
Тому, в моєму випадку частково впорядкованих множина буде решіткою.
Вправа 36. Задати розбиття множин із вправи 15.
Розв’язок:
P = {d1, d2, d3, d4, d5, d6};
Розбиттям є множина підмножин P1 = {d1, d2, d3}, P2 = {d4, d5, d6}. Дійсно, виконуються умови P1 P2 = {d1, d2, d3, d4, d5, d6} = P, P1 ∩ P2 = Ø.
Вправа 37. Для відношень еквівалентності, заданих на множинах вправи 15, побудувати визначені ними розбиття.
Розв’язок:
P = {d1, d2, d3, d4, d5, d6};
Тоді відношення еквівалентності {(d1,d1),(d2,d2),(d3,d3),(d1,d2),(d2,d1),(d1,d3),(d3,d1),(d2,d3),(d3,d2),(d4,d4),(d5,d5),(d6,d6),(d4,d5), (d5,d4),(d4,d6),(d6,d4),(d5,d6),(d6,d5)}, задане на множині P, визначає розбиття {P1, P2}, де P1 = {d1, d2, d3}, P2 = {d4, d5, d6}. При формуванні підмножин розбиття включаємо в неї елементи pi та pj тоді і тільки тоді, коли в відношенні є пара (pi, pj).
Вправа 38. Для розбиттів, заданих на множинах вправи 15, побудувати відповідні відношення еквівалентності.
Розв’язок:
P1 = {d1, d2, d3}, P2 = {d4, d5, d6}
{(d1,d1),(d2,d2),(d3,d3),(d1,d2),(d2,d1),(d1,d3),(d3,d1),(d2,d3),(d3,d2),(d4,d4),(d5,d5),(d6,d6),(d4,d5),(d5,d4), (d4,d6),(d6,d4),(d5,d6),(d6,d5)} – відношення еквівалентності.