6. Нахождение обратной матрицы.

Важно! 1. Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц.

2. Если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

Обозначение. Обратная матрица обозначается надстрочным индексом  .

Формула для нахождения обратной матрицы  :

где   – определитель матрицы  ,   – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  .

Алгебраические дополнения и миноры. Теоретическая справка.

Пусть имеем определитель третьего порядка:  .

Минором, соответствующим данному элементу a_ij определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычёркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент, т.е. i-ой строки и j-го столбца. Миноры соответствующие данному элементу a_ij будем обозначать M_ij.

Например, минором M₁₂, соответствующим элементу a₁₂, будет определитель  , который получается вычёркиванием из данного определителя 1-ой строки и 2-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента a_ij определителя называется его минор M_ij, умноженный на (–1)^i+j.

Алгебраическое дополнение элемента a_ij обозначается A_ij.

Связь между алгебраическим дополнением элемента и его минором выражается равенством:

A_ij = (–1)^i+jM_ij.

Например, 

Пример. Дан определитель  . Найти A₁₃, A₂₁, A₃₂.

Возвращаемся к нахождению обратной матрицы.

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы 

Решаем. Последовательность действий по пунктам:

1) Сначала находим определитель матрицы.

Важно! Проверить существование обратной матрицы, сравнив полученное значение с 0.

В рассматриваемом примере , а значит, можно решать дальше.

2) Находим матрицу миноров

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица  , то есть в данном случае  . 

Сначала рассмотрим левый верхний элемент матрицы А Как найти его минор? Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент: Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров: Рассматриваем следующий элемент матрицы  : Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент: То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу: Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:  – матрица миноров соответствующих элементов матрицы  .

3) Находим матрицу алгебраических дополнений

В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел, которые обведены в кружок:  – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  .

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

 – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  .

5) Ответ.

Вспоминаем формулу  Таким образом, обратная матрица:

Ответ лучше оставить в таком виде. 

Как проверить решение? Необходимо выполнить матричное умножение   либо 

Проверка: 

Получена единичная матрица.

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три».

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы 

Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».