3.1.4. Приклади задач нелінійного програмування

Задача 4.2.

Попит на продукцію, що виготовляється на двох видах обладнання, становить 120 одиниць. Собівартість, тис. грн., виробництва одиниці продукції на обладнанні кожної групи залежить від обсягу такого виробництва — відповідно х₁ і х₂ — та подається у вигляді для першої групи: ; для другої групи: .

Знайти оптимальний план виробництва продукції на кожній групі обладнання, який за умови задоволення попиту потребує найменших витрат, пов’язаних із собівартістю продукції.

Розв’язування. Математична модель задачі:

за умов

Згідно з методом множників Лагранжа складемо функцію Лагранжа:

.

Прирівнявши до нуля частинні похідні цієї функції за невідомими параметрами Х₁, Х₂ і , дістанемо систему рівнянь:

Розв’язавши цю систему, знайдемо:

Отже, на першій групі обладнання необхідно випускати 66,5, а на другій 53,5 одиниць продукції. При цьому мінімальні витрати, тис. грн., становитимуть:

Інтерпретація множників Лагранжа

Множники Лагранжа, відповідні рішенню задачі, вимірюють чутливість оптимального значення цільової функції F* = F(X*) до зміни констант обмежень (правих частин обмежень) b:

Таким чином, крім того, що метод множників Лагранжа дає рішення задачі оптимізації, він дозволяє також проаналізувати, наскільки зміниться оптимальне значення цільової функції при малих змінах відповідних правих частин обмежень. Наприклад, якщо якийсь множник Лагранжа рівний нулю, то малі зміни відповідної константи обмежень не зроблять ніякого впливу на оптимальне значення цільової функції.

Особливо важлива інтерпретація множників Лагранжа в завданнях раціональної економічної діяльності. У економічних завданнях розподілу ресурсів цільова функція має розмірність вартості, тобто ціни, помноженої на об'єм продукції (такі, наприклад, прибуток, виручка, витрати), а за допомогою обмежень встановлюється певне значення деякої кількості (наприклад, витрат). Оскільки в таких завданнях за допомогою множника Лагранжа вимірюють чутливість величини, що має розмірність вартості до змін деякої кількості, то він має розмірність ціни. З цієї причини множник Лагранжа часто називають тіньовою ціною (даного виду витрат).

Тема 4. Прниципи побудови економетричних моделей. Парна лінійна регресія. Лінійні моделі множинної регресії

Эконометрия – экономико-математическая научная дисциплина, разрабатывающая и использующая методы, модели, позволяющие придавать конкретное количественное выражение общим (качественным) закономерностям экономической теории на базе экономической статистики с использованием математико-статистического инструментария.

Говоря об экономической теории в рамках эконометрии, исследователи интересуются не просто выявлением объективно существующих (на качественном уровне) экономических законов и связей между экономическими показателями, но и подходами к их формализации, включающими в себя методы спецификации соответствующих моделей с учетом проблемы их идентифицируемости. При рассмотрении экономической статистики как составной части эконометрии обычно имеют в виду тот аспект этой самостоятельной дисциплины, который непосредственно связан с информационным обеспечением анализируемой эконометрической модели. Под математико-статистическим инструментарием эконометрии подразумеваются отдельные разделы математической статистики: классическая и обобщенная линейные модели регрессионного анализа, анализ временных рядов, построение и анализ системы одновременных уравнений.

Основные результаты экономической теории носят качественный характер, а эконометрика вносит в них эмпирическое содержание. Математическая экономика выражает экономические законы в виде математических соотношений, а эконометрика осуществляет опытную проверку этих законов. Экономическая статистика дает информационное обеспечение исследуемого процесса в виде исходных (обработанных) статистических данных и экономических показателей, а эконометрика, используя традиционные математико-статистические и специально разработанные методы, проводит анализ количественных взаимосвязей между этими показателями.

Из определения эконометрии следует, что ее происхождение и главное назначение – это экономические и социально-экономические приложения, а именно: модельное описание конкретных количественных взаимосвязей, существующих между анализируемыми показателями.

Следующая схема (рис. 1) позволит лучше разобраться в сущности рассматриваемого вопроса.

Э К О Н О М Е Т Р И Я

Методы: Приложения: макроуровень

регрессионный анализ; (модели национальной экономики);

анализ временных рядов; мезоуровень (модели региональной

системы одновременных уравнений; экономики, отраслей, секторов);

статистические методы классифика- микроуровень (модели поведения

ции и снижения размерности. потребителя, домашних хозяйств,

фирм, предприятий).