14. Алгоритм обработки экспериментальных данных с помощью метода наименьших квадратов.
- Предварительная обработка данных. На этом этапе, как правило, осуществляется устранение помехи, действующей на объект и обусловленной случайными факторами, путем использования фильтров, например, скользящего среднего, метода четвертых разностей, экспоненциального фильтра и т.д. Случайная составляющая помехи встречается практически при любых измерениях.
- Собственно идентификация. Это определение параметров математической модели по экспериментальным данным. При этом вид математической модели (это может быть уравнение прямой, параболы или любая другая зависимость) выбирается заранее. Определение параметров в общем случае – это поиск минимума многомерной функции-критерия.
- Оценка результатов моделирования, т.е. оценка адекватности математической модели, которая состоит в определении степени соответствия математической модели данным эксперимента.
15. Как определяются коэффициенты регрессионных функций при линейном характере экспериментальных данных?
Будем искать приближающую функцию в виде:
Абсолютная
разность
для
определяется следующим образом:
формулу (10.2) перепишем в виде:
Рассматриваемая
сумма является функцией с двумя
параметрами
Задача сводится к отысканию минимума
этой функции. Используем необходимое
условие экстремума:
т.е.
(10.3)
Решив
систему двух уравнений с двумя
неизвестными относительно параметров
и
,
получим конкретный вид искомой функции
Опуская математические выкладки,
запишем выражения для искомых параметров:
(10.4)
Рассчитав
значение
,
получим величину среднеквадратичной
ошибки рассматриваемого приближения.
Замечание:
найденные значения
и
определяют точку экстремума
.
Используя неравенство Коши-Буняковского
можно доказать, что в этой точке функция
принимает минимальное значение
16. Как определяются коэффициенты регрессионных функций при гиперболическом характере экспериментальных данных?
Приближающая функция имеет вид
(10.20)
Для
перехода к линейной функции сделаем
подстановку
.
Получим
Перед нахождением приближающей функции вида 10.20 значения аргумента в исходной таблице 10.1 необходимо заменить обратными числами и найти для новой таблицы 10.7 приближающую функцию в виде линейной регрессии (10.4).
Рис. 10.7 График гиперболической функции
Окончательно получим
(10.21)
17. Как определяются коэффициенты регрессионных функций при экспоненциальном характере экспериментальных данных?
Показательная зависимость имеет вид
(10.8)
Во
всех случаях
при
.
Если
то при
кривая растет с увеличением
тем быстрее, чем больше
При
она приближается к оси абсцисс с
возрастанием
тем быстрее, чем больше абсолютная
величина
Рис. 10.3 График показательной функции
(10.9)
приняв
обозначения
перепишем (10.9) в виде:
(10.10)
Окончательно получаем:
(10.11)
Рис.
10.4