Теорія ймовірності – наука, що вивчає закономірності масових випадкових подій

Класична ймовірність

Означення. Ймовірністю випадкової події називається відношення кількості подій, які сприяють цій події, до кількості всіх рівно можливих несумісних подій, які утворюють повну групу подій під час певного випробування.

Р(А)= , де n- загальна кількість рівно можливих і несумісних подій, які утворюють повну групу, m- число елементарних подій, які сприяють події А.

III. Завдання з комбінаторики та теорії ймовірності зі стислими розв’язаннями складніших із них

1. Скількома способами на першості світу з футболу можуть розподілитися медалі, якщо у фінальній частині грають 24 команди?

Розв’язання.

Золоту медаль може одержати будь-яка з 24-х команд, тобто 24 можливості. Срібну медаль може виграти одна з 23-х команд, а бронзову - одна з 22-х команд. За основним правилом комбінаторики загальне число способів розподілу медалей 24 · 23 · 22 = 12144.

Відповідь. 12144 способами.

2. Скільки трицифрових чисел можна записати за допомогою цифр 4,5 і 6, якщо цифри у числі не повторюються?

Розв’язання.

=3!=6. Відповідь. 6.

3. Серед 9 хустинок, які лежать у шухляді,2 хустинки білі. Навмання беруть одну хустинку. Яка ймовірність того, що вона біла?

Відповідь. .

4. У ящику 10 кульок, з яких 3 білих. Яка ймовірність того, що витягнута навмання з ящика кулька виявиться білою?

Відповідь. .

5. З 10 учнів,що брали участь у районній олімпіаді, троє зайняли призові місця. З цих 10 учнів навмання вибирають одного. Яка ймовірність того,що він став призером олімпіади?

Відповідь. 0,3.

6. У ящику 20 яблук, з яких 7 червоних. Навмання витягують одне яблуко. Яка ймовірність того,що воно червоне?

Відповідь. .

7. У коробці 6 синіх, 3 червоних і 1 зелена ручка. Навмання беруть одну. Яка ймовірність того, що вона не синя?

Відповідь. .

8. Гральний кубик підкидають один раз. Яка ймовірність того, що випало число, яке є дільником числа 24?

Відповідь. .

9. На тарілці лежить 5 яблук і 4 груші. Скількома способами з тарілки можна взяти одне яблуко і одну грушу?

Відповідь.20.

10. Скількома способами з п’яти членів баскетбольної команди можна вибрати капітана та його заступника?

Відповідь.20.

11. Скільки можна утворити різних трицифрових додатних чисел у десятковій системі числення?

Розв’язання.

З 10 цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 можна утворити , тобто =720. Але з них слід виключити ті числа, які починаються з нуля. Таких чисел стільки, скільки можна утворити розміщень з 9 цифр по 2 (без нуля), тобто =72. Отже, різних трицифрових чисел можна утворити 720-72=648.

Відповідь. 648.

12. Скількома способами можна розмістити 12 осіб за столом, біля якого поставлено 12 стільців?

Розв’язання.

=12!= 479 001 600. Відповідь. 479 001 600.

Цікаво, що коли 12 осіб за столом розміщати щохвилини протягом 11 годин на добу, 365 днів на рік, з відпочинком на один день у високосні роки, то на це піде 1988 років і 140 днів.

13. Скільки різних музичних фраз можна скласти з 6 нот, якщо не допускати в одній фразі повторення звуків?

Розв’язання.

Вважатимемо , що піаніно має 88 клавішів.

=88* 87* 86* 85* 84* 83=390 190 489 920

Відповідь. 390 190 489 920.

14. Скільки семицифрових чисел можна утворити за допомогою семи різних цифр, відмінних від нуля?

Розв’язання.

=7!=5040

Відповідь. 5040.

15. Збори, на яких були присутні 30 осіб, в тому числі дві жінки, обирали чотирьох співробітників для роботи на виборчій дільниці. Скільки може бути випадків, коли в число обраних увійдуть обидві жінки?

Розв’язання.

Обидві жінки повинні увійти до складу виборчої комісії. Двох інших співробітників слід вибирати із 28 чоловік, при цьому порядок несуттєвий.

=378.

Відповідь.378.

16. Набираючи номер телефону,абонент забув останню цифру і набрав її навмання. Знайти ймовірність того, що номер набрано правильно.

Розв’язання.

Нехай А={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, n=10;

P(A)= .

Відповідь. .

17. У шухляді 12 олівців, з яких 5 червоних. Навмання вибирають один олівець. Яка ймовірність того,що він червоний?

Відповідь.

18. У ящику лежить 12 білих кульок і кілька чорних. Скільки чорних кульок у ящику, якщо ймовірність витягнути навмання чорну кульку дорівнює ?

Розв’язання.

Позначимо через х кількість чорних кульок.

Тоді Р(А)= =

Х=8

Відповідь. 8.

19. Є 6 різних блокнотів і 7 ручок. Скількома способами можна вибрати набір із 3 блокнотів і 2 ручок?

Розв’язання.

Відповідь. 420.

20. У коробці 15 цукерок із чорного шоколаду і деяка кількість з білого. Скільки в коробці цукерок з білого шоколаду, якщо ймовірність витягнути навмання з коробки цукерку з білого шоколаду менша за ?

Розв’язування.

Нехай х цукерок з білого шоколаду, оскільки їх «деяка кількість», приймемо,що х 1. Ймовірність витягнути цукерку з білого шоколаду дорівнює , за умовою ;

1 . Оскільки х- ціле число, тоді х є

Відповідь.

21. Скільки різних правильних нескоротних дробів можна скласти із чисел 1;2;3;7;11;18 так, щоб чисельником і знаменником кожного дробу були числа з даного набору?

Розв’язання.

Із чисельником 1-пять дробів; із чисельником 2-три дроби; із чисельником 3-два дроби; із чисельником 7-два дроби; із чисельником 11-один дріб; разом: 5+3+2+2+1=13.

Відповідь.13.

22. На картках записано числа від 1 до 12. Навмання беруть дві з них. Яка ймовірність того, що сума чисел на картках дорівнює 12?

Розв’язання.

Усього варіантів = =66

Сума дорівнює 12

для 1+11=2+10=3+9=4+8=5+7 –п’ять варіантів.

Тоді Р(A)= .

Відповідь.

23. Одночасно підкинули два гральних кубики. Знайдіть ймовірність того,що сума очок на кубиках менша за 5.

Розв’язання.

Кількість випадання двох очок - 1, трьох очок - 2, чотирьох - 3. Разом -6. Кількість різних варіантів підкидання двох кубиків: 6²=36. Отже,Р(А)= .

Відповідь. .

24. З натуральних чисел від 1 до 30 навмання вибирають одне. Яка ймовірність того,що це число є дільником числа 30?

Розв’язання.

Існує 8 дільників числа 30: ,тому Р(А)= = .

25. Є 5 карток із числами 2;4;6;8;10. Навмання вибираємо три з них. Яка ймовірність того, що з них можна утворити арифметичну прогресію?

Розв’язання.

Можливі варіанти арифметичної прогресії: 2,4,6; 6,4,2; 4,6,8; 8,6,4; ,6,8,10; 10,8,6; 2,6,10; ,10,6,2-усього вісім варіантів. Загальна кількість можливих варіантів витягти

три картки: = .

Шукана ймовірність: Р(А)= =

26. Скільки різних п’ятицифрових натуральних чисел можна скласти з цифр 0;1;3;5;7, якщо цифри в кожному числі не повторюються?

Розв’язання

І спосіб. Від кількості даних пятицифрових чисел віднімемо кількість тих, що починаються з нуля:

=5!-4!=4!4=96.

ІІ спосіб. (за правилом множення). Першу цифру можемо обрати чотирма способами, другу-чотирма, третю- трьома, четверту-двома, пяту-одним способом: 4 х 4 х 3 х 2 х 1=96.

Відповідь.96.