III. 16. Покажите и рассчитайте поле равномерно заряженной бесконечной плоскости, двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей.

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости. Бесконечная плоскость (рис. 1.17) заряжена с постоянной поверхностной плотностью + ( - заряд, приходящийся на единицу поверхности).

Рис. 1.17

Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (угол между векторами и ₁ равен 90⁰, cos90⁰=0), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания Е_n совпадает с Е cos0⁰=1 ), т. е. равен 2ЕS. Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности, равен . Согласно теореме Гаусса, , откуда

(1.21)

Из формулы вытекает, что Е не зависит от длины цилиндра, т. е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, иными словами, поле равномерно заряженной плоскости равномерно.

2. Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей. Пусть плоскости заряжены равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями и . Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию плоскостей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности.

На рисунке 1.18 сплошные стрелки соответствуют полю от положительно заряженной плоскости, пунктирные – от отрицательной плоскости. Слева и справа от плоскостей областей I и III поля вычитаются (линии напряженности направлены навстречу друг другу), поэтому здесь напряженность поля Е=0. В области II между плоскостями Е=Е₊+Е_-, поэтому результирующая напряженность

(1.22)

Рис. 1.18

III. Задачи

1. В однородном поле с напряженностью 40 кВ/м находится заряд 27 нКл. Найти напряженность результирующего поля на расстоянии 9 см от заряда в точках: а) лежащих на силовой линии однородного поля, проходящей через заряд; б) лежащих на прямой, проходящей через заряд и перпендикулярной силовым линиям.

2. При внесении заряженного металлического шарика, подвешенного на изолирующей нити, в однородное горизонтально направленное поле нить образовала с вертикалью угол 45°. На сколько уменьшится угол отклонения нити при стекании с шарика одной десятой доли его заряда?

3. В основании равностороннего треугольника со стороной а находятся заряды по +q каждый, а в вершине — заряд —q. Найти напряженность поля в центре треугольника.

4. Два заряда по 25 нКл каждый, расположенные на расстоянии 24 см друг от друга, образуют электростатическое поле. С какой силой это поле действует на заряд 2 нКл, помещенный в точку, удаленную на 15 см от каждого из зарядов, если заряды, образующие поле, одноименны? если заряды разноименны?

5. На двух одинаковых по длине нитях, закрепленных в одной точке, подвешены два шарика. Сравнить углы отклонений нитей от вертикали, если: а) шарики, имея одинаковые массы, заряжены одноименно и заряд первого шарика больше заряда второго; б) заряды шариков одинаковы, а масса первого больше массы второго.

6. В двух противоположных вершинах квадрата со стороной 30 см находятся точечные заряженные тела, заряды которых по 2∙10^-7 Кл. Определить напряженность электрического поля в двух других вершинах квадрата.

7. В двух противоположных вершинах квадрата со стороной 30 см находятся точечные заряженные тела, заряды которых по 2∙10^-7 Кл. Определить напряженность электрического поля в точке, удаленной от верхнего заряженного тела по диагонали квадрата внутрь на 30 см.

8. В двух противоположных вершинах квадрата со стороной 30 см находятся точечные заряженные тела, заряды которых по 2∙10^-7 Кл. Определить напряженность электрического поля в других вершинах квадрата, если тела заряжены разноименно.

9. На дне сосуда с маслом находится диэлектрический шар диаметром 2,8 см, равномерно заряженный зарядом +2∙10^-6 Кл. Плотность масла 820 кг/м³. Сосуд помещен в однородное электрическое поле напряженностью 6000 В/м, линии напряженности направлены вертикально вверх. Ускорение свободного падения g=10м/с². Определить плотность вещества шара, если при условиях задачи шар начинает всплывать.

10. Электрон движется в направлении противоположном направлению линий напряженности электрического поля с напряженностью Е, со скоростью V₀. По какой формуле можно определить время, за которое скорость движения электрона изменится в 2 раза?

11. Два точечных одноименно заряженных тела, с зарядами no 10 нКл, находятся на расстоянии 1 м друг от друга. Какую работу необходимо выполнить, чтобы расстояние между телами уменьшить в 2 раза?

12. В вершинах квадрата со стороной а находятся точечные положительно заряженные тела с зарядом по 10^-5 Кл каждый. Какое точечное заряженное тело нужно поместить в центр квадрата, чтобы вся система заряженных тел пребывала в равновесии?

13. В космическом корабле рядом находятся две капельки воды, каждая из которых потеряла по одному электрону. Расстояние между капельками не меняется. Найдите формулу для определения диаметра капелек.

14. Электрон движется в направлении линий напряженности однородного электрического поля с напряженностью Ε с начальной скоростью V₀. Найдите общую формулу для движения электрона.

15. Электрон движется в направлении линий напряженности однородного электрического поля с напряженностью Ε с начальной скоростью V₀. Найдите формулу для определения времени движения электрона до остановки.