1.2. Строгое определение событий, вероятности (аксиоматика а.Н.Колмогорова).

Некоторое абстрактное множество , содержащее хотя бы один элемент, объявляется достоверным событием. Его элементы – элементарными событиями. Событиями объявляются некоторые подмножества , если для их совокупности выполняются требования, указанные в пункте 1.1: 1) само является событием: ; 2) пустое множество Ø (оно всегда является подмножеством любого множества) является событием ; 3) если событие, то и , дополнение до к событию , является событием (называется противоположным): ; 4) если есть два события и , то и их объединение является событием (называется суммой), также и их пересечение является событием (называется произведением и обозначается . Также определяется сумма любого конечного или счетного количества событий и произведение любого конечного или счетного количества событий.

Если , из следует , обозначается .

Если события не имеют общих элементов, то есть , то называются несовместными событиями.

Далее, вероятностью объявляется любая функция на множестве всех событий , обладающая свойствами аддитивности, конечности, неотрицательности (см. пункт 1.1). Значение называется вероятностью события .

Случайной величиной (греческая буква «кси») называется числовая функция, определенная на множестве и такая, что множества вида являются событиями для любых пар чисел , включая . Значение для конкретного элементарного события часто называют реализацией случайной величины.

Видно, что суть аксиоматики Колмогорова состоит в переводе не очень понятных понятий «событие, шанс» на язык теории множеств, базовой теории для всей математики. Все действия над событиями оказываются действиями над множествами, а вероятность оказывается мерой на измеримых множествах, также хорошо изученных в математике.

Пример 2. Двое бросают игральную кость по 1 разу. А = {первый получил бо­льше очков, чем второй}, В = {второй получил четное число очков}. Здесь можно взять в качестве множество упорядоченных пар, где первое число – очки первого бросающего, второе – второго. В качестве событий – все подмножества : . Из соображений симметрии считаем выпадение всех пар, то есть всех исходов равновероятными: . Тогда событие состоит из 15 элементарных исходов, . Событие содержит 18 исходов, . Событие состоит из 6 исходов, . Событие состоит из 27 исходов, . В этом примере событие не зависит от числа очков первого бросающего (это и так ясно), но события являются зависимыми (а это неясно!), то есть неверно, что они независимы. Точное определение независимости смотри ниже.

Упражнение. Убедитесь на этом примере в справедливости равенств (правил де Моргана) .

Очень полезно события изображать кругами Эйлера: на плоскости фигурами (круги, эллипсы и т.п.). Тогда произведение событий – общая часть, несовместные не имеют общих точек, вероятность события – площадь соответствующей фигуры.

Итак, лишь все вместе – достоверное событие , совокупность всех событий и вероятность определяют тот тип абстрактного случайного эксперимента, в рамках которого можно решить ту или иную конкретную задачу. Такая тройка в теории вероятностей называется вероятностным пространством, и предпочитают говорить не об экспериментах того или иного вида, а о различных типах вероятностных пространств. Аксиомы Колмогорова сформулированы для всех вероятностных пространств, то есть для абстрактного вероятностного пространства.