Математическое ожидание и дисперсия

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений возможных значений случайной величины на вероятности, с которыми она принимает свои возможные значения.

(18)

Вероятностный смысл математического ожидания заключается в том, что математическое ожидание примерно равно среднему арифметическому значений, которые принимает случайная величина в результате проведения достаточно большого числа испытаний, т.е., если проведено N испытаний и с.в. значение x₁ приняла N₁ раз, x₂ – N₂ раз, и т.д. x_n –N_n раз, то величина с очень большой вероятностью будет мало отличаться от M(X). (Подробнее об этом смотрите в теме «интервальные оценки параметров распределения», а также [1,2].)

Пример19. В тесто для калорийных булочек добавляют изюм. Определить сколько изюминок попадает в каждую булочку.

Решение. Пусть для изготовления булочек замешивают V кг теста, а на одну булочку используют v кг (например, 0.1 кг). Тогда из одного замеса можно испечь N=V/v булочек. Допустим, что в каждую булочку необходимо положить изюминок (например, =10). Справедливо предположение, что в каждую булочку изюминка может попасть независимо от других. Введем случайную величину X - число изюминок в булочке. Случайная величина X распределена по биноминальному закону (14):

Вер{X=m}=P_n(m)= ,

где p = 1/N = v/V, q =1-p, n = N, m=0,1,…,n,

где = np.

Предположим, что N - большое число, тогда вероятность p мала..

При больших значениях n пользоваться формулой (14) затруднительно. Например, при N=200, вероятность того, что в данную булочку попадет ровно 9 изюминок равна

P₂₀₀(9)= = .

Расчеты существенно упрощаются, если рассмотреть предельный случай, когда n , а = np остается постоянным числом (на практике это соответствует тому, что вероятность появления случайного события мала, а число испытаний велико). В этом предельном случае распределение вероятностей подчиняется формуле Пуассона (16).

Используя формулу (14), получим P₂₀₀(9)=0.12768; по формуле (16) находим P₂₀₀(9) =0.12511. Таким образом, ошибка при использовании формулы Пуассона в данном случае равна 0.002.

Закон распределения Пуассона имеет вид:

X	0	1	…	m	…
P	.	.		.

Дисперсией называется математическое ожидание от квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

(19)

Справедлива формула для вычисления дисперсии:

(20)

где Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние случайной величины относительно ее среднего значения (математического ожидания).

Свойства математического ожидания и дисперсии:

1. Математическое ожидание постоянной величины есть сама постоянная:

М(С) = С.

2. Константу можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ) = С М(Х).

Здесь закон распределения с.в. СХ получается из закона распределения с.в. Х умножением ее возможных значений на постоянную С, т.е. если с.в. определена законом распределения, представленном в таблице 1., то СХ определяется следующей таблицей:

Таблица 3

X	Cx1	Cx2	…	Cxk	…	Cxn
P	p1	p2	…	pk	…	pn

3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

М(Х + Y) = М(Х) + М(Y).

Свойства дисперсии непосредственно следуют из соответствующих свойств математического ожидания:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D(C) = 0.

2. Постоянную можно выносить за знак дисперсии, возведя ее в квадрат:

D(C X) = C²D(X).

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий:

D(X +Y) = D(X) + D(Y),

где X и Y независимы (случайные величины называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая с.в.).