Формула Бернулли

Формулы теории вероятностей имеют смысл только в случае, когда возможно повторение испытаний достаточно большое число раз. Пусть производится п независимых испытаний и вероятность появления некоторого события А в каждом из испытаний равна р = р (А) и не зависит от номера испытания. Пусть q = 1 – p, тогда вероятность того, что в п независимых испытаниях событие А произойдет ровно т раз вычисляется по формуле Бернулли:

Рп(т) =  рт  qп-т.

(14)

Пример 13. Играется матч между шахматистами X и Y. Вероятность того, что X выиграет каждую отдельную партию равна , вероятность выигрыша партии Y равна . Ничьих партий не бывает (т.е., если они происходят, то они не учитываются). Матч состоит из 6 партий. Найти вероятность выигрыша матча X, вероятность выигрыша матча Y и вероятность ничейного исхода.

Решение. Здесь число испытаний п = 6; р = , q = . Введем обозначения: А_i(I = 0,1,…, 6) – событие, заключающееся в том, что X выиграл i партий из 6. По условию задачи требуется найти р(А₄ + А₅ + А₆) = р(А₄) + р(А₅) + р(А₆) – X выиграл не менее четырех партий (здесь вероятность суммы равна сумме вероятностей, т.к. слагаемые в скобках – несовместимые события). Далее,

р(А₄) = р₆(4) =   = 15 = ,

р(А₅) = р₆(5) =   = 6 = ,

р(А₆) = р₆(6) =   = 1 = .

Тогда вероятность того, что X выиграет матч равна

p(А₄ + А₅ + А₆) = = 0.68.

Ничья происходит при счете ”3 -3”, т.е.

p(А₃) = р₆(3) =   = 20  = = 0.22.

Вероятность выигрыша матча Y равна

p(А₀ + А₁ + А₂) = 1 – р(А₃ + А₄ + А₅ + А₆) = 1 – 0.68 – 0.22 = 0.1.

Интересно заметить, что вероятность того, что наиболее искусный игрок не будет выявлен после шести партий не мала (0.32).

Наивероятнейшее число появления события в серии из n испытаний определяется неравенством

(15)

где p – вероятность появления события в одном испытании, q - вероятность не появления события в одном испытании.

Пример 14. В одном из учебных заведений обучается 2920 студентов. Вероятность того, что день рождения наудачу взятого по списку студента приходится на определенный день года равна Найти наивероятнейшее число студентов, родившихся 1 января.

Решение. Имеем

следовательно,

Поскольку - целое число, то = 8.

Формула Пуассона

Вычисление по формуле Бернулли (14) становятся сложными, если число испытаний п велико. Поэтому при большом числе испытаний и при малых вероятностях появления события А (п 10, р 0.1) вместо формулы Бернулли используют приближенную формулу Пуассона:

 e­λ -

(16)

вероятность того, что в п испытаниях событие произойдет k раз; здесь λ = п р.

Пример 15. Прядильщица использует 10 веретен. Вероятность обрыва нити на каждом веретене равна р = 0.08. Найти вероятность того, что оборвутся ровно две нити.

Решение. Здесь q = 1 – p = 0.92. По формуле Бернулли получаем

Р₁₀(2) =  р²  q⁸ = 45 0.08²  0.92⁸ = 0.1478.

Применим формулу Пуассона:

Таким образом, даже при не больших значениях п совпадают две первых значащих цифры.

Пример 16. В банк отправлено 40000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков равна 0.0001. Найти вероятность того, при проверке будет обнаружено:

1. три ошибочно укомплектованных пакета;

2. не более трех пакетов;

3. не менее трех пакетов;

4. хотя бы один ошибочно укомплектованный пакет.

Решение. Вычислим параметр в формуле Пуассона:

1. 

2. 

3. 

4.