2.3. Сравнительный анализ прямой и двойственной злп

Рассматриваемые несимметричные двойственная и прямая задачи действительно не симметричны.:

• ограничения, задаваемые в симметричных прямой и двойственной задачах противоположными неравенствами, здесь выражаются в прямой задаче уравнениями, а в двойственной – неравенствами;

• в отличие от симметричных задач, где переменные x₁, x₂, …, x_n и у₁, у₂, …, у_m положительны, здесь, в двойственной задаче у₁, у₂, …, у_m могут иметь любой знак, то есть снимается условие неотрицательности.

Но, как и в симметричных задачах:

• если прямая задача решается на максимум целевой функции, то двойственная к ней – на минимум, и наоборот;

• коэффициенты с_i целевой функции прямой задачи являются правыми частями в ограничивающих неравенствах двойственной задачи;

• если прямая и двойственная задачи имеют решение, то максимум целевой функции z в прямой задаче и минимум целевой функции f в двойственной (или минимум z и максимум f ) равны;

• правые части b_i в системе ограничений прямой задачи являются коэффициентами целевой функции двойственной задачи;

• число ограничений в прямой задаче равно числу переменных двойственной задачи, а число ограничений в двойственной задаче равно числу переменных прямой задачи.

Экономическим содержанием решения является оптимальный (с максимумом выручки) ассортимент выпуска основной продукции при полном использовании всех имеющихся ресурсов.

При несимметричной двойственности (как и при симметричной), если одна из связанных задач имеет оптимальное решение, то его имеет и другая, причем экстремальные значения целевых функций равны.

Экономическое содержание этого положения состоит при оптимальном плане производства в совпадении стоимости произведенной продукции и оценки ресурсов, расходуемых на ее выпуск. Оптимальность плана означает точное воплощение в оценке произведенной по этому плану продукции всех имеющихся ресурсов при отсутствии непроизводительных затрат.

Решение в Excel несимметричной двойственной задачи и ее экономический смысл

В качестве примера решения экономической несимметричной взаимно двойственной ЗЛП рассматривается:

• в прямой задаче – планирование оптимального ассортимента выпуска трех видов основной продукции при j = 1, 2, 3 с полным использованием всех имеющихся ресурсов (трудовых при i = 1, станочного оборудования при i = 2, полуфабрикатов при i = 3);

• в двойственной задаче – определение двойственных оценок у₁, у₂, и у₃ всех имеющихся ресурсов для их возможного альтернативного использования.

В табл. 23.2 приведены исходные данные:

• недельные объемы имеющихся используемых ресурсов b_i;

• нормы расхода ресурсов на единицу каждого типа планируемой продукции (a_ij в затонированных клетках);

• цены с_j реализации продукции;

• в нижней строке – начальные приближения искомых объемов выпуска продукции каждого типа x_j (положительные числа, например, по 10).

Таблица 23.2

Показатели	j = 1	j = 2	j = 3	bi
Трудовые, человеко-часы, i = 1	1	3	1	1685
Станочное оборудование, станко-часы, i = 2	1	3	2	1686
Полуфабрикаты, кг, i = 3	3	4	5	4042
Цена единицы продукции сj, руб.	70	100	120
Искомые объемы продукции xj, шт.	10	10	10