2. Несимметричная двойственная злп и ее экономический смысл

Экономическое содержание несимметричной двойственности можно проиллюстрировать на примере двух альтернативных задач планирования: .

• оптимального ассортимента продукции основного производства с полным использованием всех имеющихся ресурсов (прямая задача);

• оценке стоимости всех имеющихся ресурсов при продаже или сдаче в аренду (двойственная задача).

2.1. Прямая несимметричная злп и ее приложение к планированию оптимального ассортимента продукции

Прямая ЗЛП рассматривается для оптимизации ассортимента основной продукции: переменных x₁, x₂, …, x_n, – количеств n типов изделий с расходом m видов ресурсов в заданных объемах b₁, b­₂, …, b_m. .Обозначаются:

i – индекс вида ресурсов от i = 1 до i = m;

j – индекс типа основной продукции от j = 1 до j = n;

a_ij – норма расхода ресурсов i-го вида на единицу продукции j-го типа;

с_j – цена единицы основной продукции j-го типа.

Объемы выпускаемой продукции планируются с условием использования без остатка всех имеющихся ресурсов, то есть выполнения системы уравнений:

(9.5)

Каждое уравнение в левой части состоит из суммы расходов ресурсов одного вида на выпуск объемов основной продукции всех типов. Сумма используемых ресурсов этого вида равна его имеющемуся объему: ресурсы используются полностью. Сколько видов ресурсов, столько уравнений.

Целевой функцией z является суммарный доход от реализации всей продукции x₁, x₂, …, x_n по заданным ценам с₁, с₂, …, с_n:

z = c₁x₁+ c₂x₂+…+ c_nx_n. (9.6)

Таким образом, экономическим содержанием прямой ЗЛП является оптимальное планирование ассортимента основной продукции с полным использованием имеющихся ресурсов, при котором достигается максимум целевой функции (дохода от реализации выпускаемой продукции).

2.2. Несимметричная двойственной злп и ее экономический смысл

Несимметричная двойственная задача отвечает альтернативному использованию всех имеющихся ресурсов основного производства b₁, b₂, …, b_m – сдаче в аренду или продаже с учетом их оценок у₁, у₂, …, у_m. .

Расходуемые ресурсы m видов в объемах b₁, b₂, …, b_m представляют собой полуфабрикаты, станочное оборудование и рабочий персонал, необходимые при основном производстве.

От искомых оценок у₁, у₂, …, у_m, естественно, потребовать, по крайней мере, сохранение дохода, рассчитанного в прямой задаче. Для этого стоимость оцениваемых ресурсов на единицу продукции, должна быть не ниже ее цены при существующем основном производстве, то есть необходимо выполнение системы неравенств:

(9.7)

Каждое неравенство в левой части состоит из суммы оценок всех видов ресурсов, необходимых для выпуска единицы одного типа основной продукции. В правой части неравенства – цена этого типа основной продукции. Сколько типов основной продукции, столько неравенств. При их выполнении стоимость имеющихся ресурсов не ниже получаемого дохода от реализации основной продукции.

Искомые двойственные оценки ресурсов у₁, у₂, …, у_m, как и в симметричной двойственной ЗЛП, не являются ценами реализации. Но при минимизации суммарной стоимости ресурсов их двойственные оценки становятся нижними ограничениями допустимых (неубыточных) цен реализации.

Минимальная суммарная стоимость ресурсов при выполнении системы неравенств (9.7), обеспечивая выручку не менее достигаемой в собственном производстве, является ориентиром (нижним ограничением) для безубыточной продажи или сдачи в аренду всех ресурсов. Отсюда понятен смысл суммарной стоимости ресурсов как целевой функции

f = b₁y₁+ b₂y₂+…+ b_my_m (9.8)

и необходимости ее минимизации.

Найденные двойственные оценки не ограничивают сверху допускаемых конъюнктурой цен реализации ресурсов, отвечая альтернативному рыночному выходу из положения «собаки на сене».

Некоторые из искомых оценок у₁, у₂, …, у_n (в отличие от симметричной двойственной ЗЛП) могут быть отрицательными величинами, но стоимость всех ресурсов (9.8) и расходуемых на единицу продукции (9.7) положительна.

Отрицательность оценок некоторых ресурсов отражает их избыточность при необходимости полного использования по законодательным требованиям, директивным указаниям, социальным и другим условиям.

Так, по социальным соображениям или, исходя из перспектив, нередко приходится планировать использование всех имеющихся трудовых ресурсов, даже при их избыточности и экономической целесообразности сокращения.

Как указывалось, двойственные оценки у₁, у₂, …, у_n не тождественны ценам, иначе именуются (по Л.В. Канторовичу) объективно обусловленными оценками, а в зарубежной литературе – теневыми или скрытыми ценами.