4.1. Оптимальний розподіл інвестицій.

Необхідно розподілити В одиниць наявних грошових засобів серед n підприємств, прибуток g_i(x_i)від яких у залежності від розміру капіталовкладень x_i визначається матрицею (n*n), яка приведена у таблиці 4.1., так, щоб сумарний прибуток від усіх підприємств був максимальним.

Таблиця 4.1.

x | gi	g1	g2	...	gi	…	gn
x1	g1(x1)	g2(x1)	…	gi(x1)	…	gn(x1)
x2	g1(x2)	g2(x2)	…	gi(x2)	…	gn(x2)
xi	…	…	…	gi(xi)	…	…
xn	g1(xn)	g2(xn)	…	…	…	gn(xn)

Математична модель задачі має вигляд:

визначити Х* = (х₁, х₂, ..., х_і, ..., х_n), які задовольняють умовам:

(4.1)

і забеспечують максимум цільової функції: (4.2)

Розіб’ємо процес оптимізації на n кроків і будемо на кожному k –му кроці оптимізувати інвестування не усіх підприємств, а лише підприємств з k–го по n-е. При цьому вважаємо, що у останні підприємства (з першого по (k-1)) також вкладаються кошти, і тому на інвестування з k–го по n-е підприємства залишаються не вся сума, а менша: . Ця величина і буде змінною стану системи. Змінною управління на k –му кроці буде величина x_k засобів, які вкладаються у k–те підприємство. У якості функції Беллмана F_k(C_k) на k-му кроці можна обрати максимально можливий прибуток, який можна отримати з k–го по n-е підприємства за умови, що на їх інвестування залишилось C_k коштів. Очевидно, що при інвестуванні у k –е підприємство x_k засобів буде отримано прибуток g_k(x_k), а система до (k+1) кроку перейде у стан S_k+1 і відповідно, на інвестування підприємств з (k+1)-го до n-го залишиться C_k+1=( C_k - x_k ) коштів.

Таким чином , на першому кроці умовної оптимізації при k = n функція Беллмана являє собою прибуток лише з n-го підприємства. При цьому на його інвестування може залишитися C_n засобів, . Для отримання максиму прибутку з цього підприємства, можна вкласти в нього усі ці кошти, тобто F_n(C_n) = g_n(C_n) і x_n = C_n.

На кожному наступному кроці для обчислення функціїБеллмана необхідно використовувати результати попереднього кроку. Нехай на k –у кроці для інвестування підприємств з k–го по n-е залишилось C_k засобів. Тоді від інвестування у k–те підприємство x_k засобів, буде отримано прибуток g_k(С_k), а на інвестування підприємств(з k–го по n-е ) залишиться C_k+1=( C_k - x_k ) засобів. Максимально можливий прибуток, який може бути отриманий від підприємств (з k–го по n-е ), буде рівний:

F_k(C_k) = (4.3)

Максимум виразу (3.3) досягається при деякому значенні x_k^*, яке являється оптимальним управлінням на k –у кроці длястану системи S_k. Діючи таким чином, можна визначити функції Беллмана і оптимальні управління до першого кроку.

Значення функції Беллмана F₁(C₁) представляє собою максимально можливий прибуток з усіх підприємств, а значення x₁^* ,на якому досягається максимум, є оптимальною кількісттю засобів, вкладених у перше підприємство. Далі на етапі безумовної оптимізації для усіх наступних кроків обчислюється величина C_k=( C_k-1 - x_k-1) і оптимальним управлінням на k–му кроці є значення x_k , яке забеспечує максимум прибутку при відповідному стані системи S_k.

Приклад: на розвиток трьох підприємств виділено 5 млн.гривень. Відома ефективність капіталовкладень у кожне підприємство, задана значенням нелінійної функції g_i(x_i) представленої у таблиці 4.2.

Необхідно розподілити виділені засоби між підприємствами таким чином, щоб отримати максимальний сумарних прибуток. Для спрощення розрахунку вважаємо, що розподіл коштів здійснюється у цілих числах x_i={1, 2, 3, 4, 5} млн.грн.

Таблиця 4.2.

x	g1	g2	g3
0	0	0	0
1	2,2	2	2,8
2	3	3,2	5,4
3	4,1	4,8	6,4
4	5,2	6,2	6,6
5	5,9	6,4	6,9

Розв’язок:

І етап. Умовна оптимізація.

1-й крок: k=3. припустимо, що усі кошти у розмірі 5 млн.грн. віддано третьому підприєству. У цьому випадку максимальний прибуток, як видно з таблиці 3.2., складе g₃(х₃)=6,9 тис.грн., тобто рекурентне співвідношення матиме вигляд: F3(C3) = g₃(х₃).

Таблиця 4.4.

С3 | x3	0	1	2	3	4	5	F3(C3)	X3*
0	0	-	-	-	-	-	0	0
1	-	2,8	-	-	-	-	2,8	1
2	-	-	5,4	-	-	-	5,4	2
3	-	-	-	6,4	-	-	6,4	3
4	-	-	-	-	6,6	-	6,6	4
5	-	-	-	-	-	6,9	6,9	5

2-й крок: k=2. визначимо оптимальну стратегію при розподілі грошових засобів між другим і третім підприємствами. Рекурентне співвідношення Беллмана на цьому кроці:

F₂(C₂) =

Таблиця 4.5.

С2 | x2	0	1	2	3	4	5	F2(C2)	X2*
0	0+0	-	-	-	-	-	0	0
1	0+2,8	2+0	-	-	-	-	2,8	0
2	0+5,4	2+2,8	3,2+0	-	-	-	5,4	0
3	0+6,4	2+5,4	3,2+2,8	4,8+0	-	-	7,4	1
4	0+6,6	2+6,4	3,2+5,4	4,8+2,8	6,2+0	-	8,6	2
5	0+6,9	2+6,6	3,2+6,4	4,8+5,4	6,2+2,8	6,4+0	10,2	3

3-й крок. k=1. визначаємо оптимальну стратегію при розподілі грошових засобів між другим і першим підприємствами, використовуючи наступне рекурентне співвідношення для розрахунку сумарного прибутку:

F₁(C₁) =

на основі якого складено таблицю 4.6.

Таблиця 4.6.

С1 | x1	0	1	2	3	4	5	F1(C1)	X1*
0	0+0	-	-	-	-	-	0	0
1	0+2,8	2,2+0	-	-	-	-	2,8	0
2	0+5,4	2,2+2,8	3+0	-	-	-	5,4	0
3	0+7,4	2,2+5,4	3+2,8	4,1+0	-	-	7,6	1
4	0+8,6	2,2+7,4	3+5,4	4,1+2,8	5,2+0	-	9,6	1
5	0+10,2	2,2+8,6	3+7,4	4,1+5,4	5,2+2,8	5,9+0	10,8	1

ІІ етап. Безумовна оптимізація.

Визначаємо компоненти оптимальної стратегії.

1-й крок. За даними таблиця 4.6 максимальний прибуток при розподілі 5 млн.грн. між трьома підприємствами складає: С₁ = 5; F₁(C₁=5)=10,8. при цьому першому підприємству треба виділити X₁^*=1 млн.грн.

2-й крок. Визначаємо розмір гошових засобів, які залишились на долю другого і третього підприємств:

С₂ = С₁- X₁^*=5 - 1=4 млн.грн.

За таблицею 3.5 знаходимо, що оптимальний варіант розподілу 4 млн.грн. між другим і третім підприємством складає:

F₂(C₂=4)=8,6 при виділенні другому підприємству X₂^*=2 млн.грн.

3-й крок. Визначаємо величину грошових засобів які лишилися на частку третього підприємства:

С₃ = С₂- X₂^*=4 - 2=2 млн.грн.

За даними таблиці 3.4. знаходимо:

F₃(C₃=2)=5,4 і X₃^*= 2 млн.грн.

Висновок: Таким чином, оптимальний план інвестування підприємств:

X^* = (1, 2, 2), який забеспечить максимальний прибуток, рівний: F(5)=g₁ (1) + g₂(2)+ g₃(2) = 2,2 + 3,2 +5,4 = 10,8млн.грн

4.2. Вибір оптимальної стратегії оновлення обладнання.

Важливою економічною проблемою є своєчасне оновлення обладнання: автомобілів, станків, телевізорів і т.п. старіння обладнання включає фізичний і моральний знос, у результаті чого зростають витрати на ремонт і обслуговування, знижується ліувідна вартість. Задача заключається у визначенні оптимальниї термінів заміни старого обладнання. Критерієм оптимальності є дохід від експлуатації обладнання, або сумарні витрати на експлуатацію не пртязі планового періоду.

Припустимо, що планується експлуатація обладнання на протязі деякого періоду часу протягом n років. Необхідно визначити оптимальний план заміни обладнання з метоб отримання максимального доходу за усі n років, враховуючи, що до початку експлуатації вік обладнання складає t₀ років.

Вхідними даними задачі є дохід r(t)від експлуатації на протягом одного року обладнання віком t , залишкова вартість S(t) , ціна нового обладнання P і початковий вік обладнання t₀.

t	0	1	…	n
r(t)	r(0)	r(1)	…	r(n)
S(t)	S(0)	S(1)		S(n)

При складанні динамічної моделі вибору оптимальної стратегії оновлення обладнання процес заміни розглядається як n -кроковий, тобто період експлуатиції розбивається на n –кроків.

Виберемо у якості кроку оптимізацію плану заміни обладнання з k–го по n –й роки. Очевидно, що дохід від експлуатації обладнання за ці роки буде залежати від віку обладнання t на початок кроку який розглядається, тобто k–го року. На величину t накладаються наступні обмеження: 1≤ t ≤ t₀ + k – 1, тобто t не може перевищувати віку обладнання за (k – 1) –й рік його експлуатиції з урахуванням віку до початку першого року, який складає t₀ рокі і не може бути менше одиниці.

Таким чином змінна t у даній задачі є змінною стану системи на k –му кроці.

Змінною управління на k –му кроці є змінна, яка може приймати одне з двох значень: зберегти (С) або замінити (Z) обладнання на початку k –го року:

X_k(t) =

Функцію Беллмана визначають як максимальний можливий дохід від експлуатції обладнання за роки k–го по n –й, якщо на початок k–го вік обладнання складає t років.

Таким чином рекурентне співвідношення Беллмана накожному кроці управління має вигляд:

F_k(t) = (4.4)

Функція F_k(t) обчислюється на кожному кроці управління для усіх 1≤ t ≤ t₀ + k – 1. управління, при якому досягається максимум доходу, являється оптимальним.

Для першого кроку умовної оптимізації при з k= n фукція представляє собою дохід за останній n-й рік:

F_n(t) = (4.5)

Максимум доходу досягається при деякому управлінні, застосовуючи яке на першому році, визначається вік обладнання на початок другого року. Для даного віку обладнання вибирається управління, при якому досягається максимум доходу за роки з другого по n-й і т.д. у результаті, на етапі безумовної оптимізації визначаються роки, на початку яких треба виконати заміну обладнання.

Приклад. Знайти оптимальну стратегію експлуатиції обладнання впродовж 6 років (t), якщо річний прибуток r(t) і залишкова вартість S(t), в залежності від строку експлуатації обладнання, приведені у таблиці 4.7. Вартість нового обладнання Р = 13, а вік обладнання на початок експлуатаційного періоду складає 1 рік.

Таблиця 4.7.

t	0	1	2	3	4	5	6
r(t)	8	7	7	6	6	5	5
S(t)	12	10	8	8	7	6	4

Розв’язок.

І етап. Умовна оптимізація

1-й крок. k= 6. для першого кроку можливі стани системи t = 1, 2, 3, 4, 5, 6. функціональне управління має вигляд (4.5):

F₆(1) =

F₆(2) =

F₆(3) =

F₆(4) =

F₆(5) =

F₆(6) =

2-й крок. k = 5. можливі стани системи t = 1, 2, 3, 4, 5. функціональне рівняння має вигляд (4.4):

F₅(t) =

F₅(1) =

F₅(2) =

F₅(3) =

F₅(4) =

F₅(5) =

3-й крок. k = 4. можливі стани системи t = 1, 2, 3, 4 функціональне рівняння має вигляд:

F₄(t) =

F₄(1) =

F₄(2) =

F₄(3) =

F₄(4) =

4-й крок. k = 3. можливі стани системи t = 1, 2, 3 функціональне рівняння має вигляд:

F₃(t) =

F₃(1) =

F₃(2) =

F₃(3) =

5-й крок. k = 2. можливі стани системи t = 1, 2 функціональне рівняння має вигляд:

F₂(t) =

F₂(1) =

F₂(2) =

6-й крок. k = 1. можливі стани системи t = 1 функціональне рівняння має вигляд:

F₁(t) =

F₁(1) =

Результати обчислень функції Беллмана приведені у таблиці 4.8.

Таблиця 4.8.

k | t	1	2	3	4	5	6
1	37
2	21	30
3	26	24	23
4	20	19	17	16
5	14	13	12	11	10
6	7	7	6	6	5	5

У таблиці виділено значення функції, яке відповідає стану «заміна обладнання».

ІІ етап. Безумовна оптимізація.

Безумовна опимізація починається з кроку k = 1(6-й крок). Максимально можливий дохід від експлуатації обладнання за роки з 1-го по 6-й складає F₁(1)= 37, за умови не заміни обладнання. Тоді, до початку 2-го року вік обладнання збільшиться на одиницю і складатиме t₂ = t₁ + 1 = 1+1 = 2 і оптимальне управління при k = 2, тобто, максимум доходу від експлуатації з 2-го по 6-й роки, буде якщо обладнання не замінюється.

На початок 3-го року при k =3: t₃ = t₂ + 1 = 2+1 = 3 – для отримання максиму прибутку за наступні роки треба провести заміну обладнання на початку 3-го року.

На початок 4-го року при k =4 вік обладнання буде t₄ =1 , бо провели заміну обладнання на попередньому кроці і для отримання максиму прибутку за наступні роки не треба проводити заміну обладнання.

Далі відповідно:

k =5: t₅ = t₄ + 1 = 2 - для отримання максиму прибутку не треба проводити заміну обладнання.

k =6: t₆ = t₅ + 1 = 2+1 = 3 - для отримання максиму прибутку не треба проводити заміну обладнання.

Таким чином за 6 років експлуатації обладнання заміну треба провести один раз – на початку 3-го року експлуатації.