Позиционные системы счисления

Знак – элемент конечного множества, обладающий информационным содержанием, отличающийся от других знаков данного множества.

Запас знаков – конечное множество А знаков.

Примеры:

Знаки арифметических операций A = { +, –, /, * }

Набор операций сравнения C = { , , , , , , }

Алфавит – конечное и линейно упорядоченное множество символов.

Множество А может включать подмножества, которые могут образовывать запасы знаков меньших алфавитов.

D  H O  H O  D

Примеры:

Знаки зодиака Z = { , , , , , , , , , , ,  }

Шестнадцатеричные цифры H = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F }

Десятичные цифры D = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

Восьмеричные цифры O = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

Слово – конечная последовательность знаков.

Множество слов над А – множество конечных последовательностей знаков А* над запасом знаков А.

Пример:

A = {а, д, м, о} A* = {мода, дама, дома, мама, адам, а, ад, да, до, ода, дом, мадам }

Множество слов В*={0,1}* называется множеством двоичных слов. Элементы этого множества называются n-битовыми словами или двоичными словами длины n.

Пример:

Множество 3-битных двоичных слов

T* = { 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 }

Разряды нумеруются от 0 до n от младшего к старшему (справа налево).

Числовое значение каждой цифры в записи числа в позиционной системе счисления зависит от её положения в записи числа (от номера разряда).

Примеры:

111₆ = 1·6² + 1·6¹ + 1·6⁰ = 36 + 6 + 1 = 43₁₀

123₆ = 1·6² + 2·6¹ + 3·6⁰ = 36 +12 + 3 = 51₁₀

213₆ = 2·6² + 1·6¹ + 3·6⁰ = 72 + 6 + 3 = 81₁₀

Числовое значение каждой цифры в записи числа в позиционной системе счисления зависит от основания системы счисления.

Примеры:

123₆ = 1·6² + 2·6¹ + 3·6⁰ = 36 + 12 + 3 = 51₁₀

123₁₀ = 1·10² + 2·10¹ + 3·10⁰ = 100 + 20 + 3 = 123₁₀

123₁₆ = 1·16² + 2·16¹ + 3·16⁰ = 256 + 32 + 3 = 291₁₀

Для перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления методом вычитания из исходного числа поочередно вычитаются целые степени двойки, не превосходящие остаток от вычитания.

В двоичной записи числа единицы записываются в тех разрядах, номера которых соответствуют вычтенным степеням двойки. В остальных разрядах двоичного числа записываются нули.

Пример:

37₁₀ = ?₂

37 - 32 = 5 (32 = 2⁵ ) 5 - 4 = 1 ( 4 = 2² ) 1 - 1 = 0 ( 1 = 2⁰ )

37₁₀ = 32 + 4 + 1 = 1·2⁵ + 1·2² + 1·2⁰ = = 1·2⁵ + 0·2⁴ + 0·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = = 100101₂

Для перевода числа из десятичной системы счисления в другие системы счисления из исходного числа следует многократно вычитать степени основания новой системы, при этом в записи числа могут появится любые цифры из нового алфавита.

Примеры:

37₄ = 32 + 4 + 1 = 2·4² + 1·4¹ + 1·4⁰ = 211₄

73₃ = 27 +27 + 9 + 9 + 1 = 2·27 + 2·9 + 1 = = 2·3³ + 2·3² + 0·3¹ + 1·3⁰ = 2201₃

Для перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную можно воспользоваться таблицей соответствия. Вместо каждого знака исходного числа записывается соответственно три или четыре двоичных знака.

Аналогично, группируя двоичные знаки справа налево по три или четыре и дополняя их слева нулями, можно быстро перевести двоичное число в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Примеры:

23₈ = 010 011₂ 72₈ = 111 010₂

23₁₆ = 0010 0011₂ 72₁₆ = 0111 0010₂

10001₂ = 010 001₂ = 21₈ = 0001 0001₂ = 11₁₆

11101₂ = 011 101₂ = 35₈ = 0001 1101₂ = 1D₁₆

100110110110₂ = 4666₈ = 9B6₁₆

2

8

2

16

2

16

10

16

10

16

000

0

0000

0

1000

8

0

8

8

8

001

1

0001

1

1001

9

1

9

9

9

010

2

0010

2

1010

A

2

A

10

A

011

3

0011

3

1011

B

3

B

11

B

100

4

0100

4

1100

C

4

C

12

C

101

5

0101

5

1101

D

5

D

13

D

110

6

0110

6

1110

E

6

E

14

E

111

7

0111

7

1111

F

7

F

15

F