Контрольна робота №2 Зразок розв`язання і оформлення контрольної роботи №2

Варіант № 31

Завдання 2.1. Знайти невизначений інтеграл а) б) .

Розв’язання. а) Для знаходження інтеграла застосуємо формулу заміни змінної для невизначеного інтеграла, а саме:

Таким чином, ;

б) .

Розв’язання. Для знаходження інтеграла застосуємо формулу інтегрування частинами.

Використовуючи зауваження до неї, тобто позначаючи через саме обернену тригонометричну функцію

Таким чином, ;

Завдання 2.2. Визначити ймовірності подій за класичною моделлю.

Група з 24 студентів, серед яких 5 відмінників, довільно розбивається порівну на дві підгрупи. Знайти ймовірність того, що три відмінники будуть у першій підгрупі (подія А).

Розв’язання. Будемо випадково відбирати 12 студентів у першу підгрупу. Побудуємо класичну модель досліду, в якому кожен випадок – це один із варіантів розподілу студентів. Якщо послідовність відбору не береться до уваги, то загальне число п випадків у такій моделі дорівнює числу різних комбінацій із 24 по 12:

.

Серед знайденого числа способів комплектування першої підгрупи знайдемо число варіантів т, сприятливих події А. Це такі варіанти, у яких 3 студенти взяті серед 5 відмінників, а решта 9 – серед 19 студентів, що не вчаться на відмінно. Число т знайдемо за комбінаторним принципом добутку

.

Тоді ймовірність попадання трьох відмінників у першу підгрупу обчислюється за класичною формулою:

.

Відповідь: 0,34.

Завдання 2.3. Імовірності суми й добутку подій

1). Серед семи виробів є три бракованих. Знайти ймовірність події А, яка полягає в тому, що один за одним без повернення будуть вийняті три вироби у такій послідовності: бракований – не бракований – бракований.

Розв’язання. Позначимо події: А1 – перший узятий виріб бракований; А2 – другий виріб не бракований; А3 – третій виріб бракований. Тоді ймовірність події А можна обчислити за теоремою множення ймовірностей:

.

Відповідь: 0,114.

2). Знайти ймовірність влучити в мішень принаймні один раз при трьох пострілах (подія А), якщо ймовірність влучити в мішень при першому пострілі (подія А1) становить 0,7, при другому (подія А2) – 0,8, при третьому (подія А3) – 0,85.

Розв’язання. Перейдемо до протилежної події – стрілець не влучив жодного разу в мішень із трьох пострілів (подія ). Тоді . Оскільки події , а разом з ними відповідні протилежні події – незалежні, то за наслідком теореми 1

(1– 0,7)(1– 0,8)(1– 0,85)=0,009,

звідки знайдемо ймовірність події А : .

Відповідь: 0,991.

Завдання 2.4. Функція розподілу неперервної випадкової величини має вигляд:

а) Знайти коефіцієнт A та зробити креслення ; б) записати та зробити креслення; в) обчислити числові характеристики та ; г) знайти ймовірність події .

Розв’язання. а) Функція розподілу випадкової величини неперервна, тому . Звідси маємо А=1. Отже, графік функції розподілу має вигляд (Рис. 2.1):

Рис.2.1

б) знайдемо за властивістю 2):

Графік щільності розподілу наведений на рис. 2.2:

Рис. 2.2

в) За формулами обчислимо числові характеристики:

.

= .

г) Використовуючи властивість щільності розподілу, одержимо :

P = .

Або

P = .

Відповідь: а) А=1; б) в)

г)

Завдання 2.5. Для даного варіанта задана вибірка

1, 3, 4, 5, 1, 3, 4, 3, 5, 1, 3, 4, 1, 3, 4, 3, 4, 3, 4, 3.

Потрібно: