Решить транспортную задачу с ограничением пропускной способности

Для такого типа транспортных задач, когда например клиенты принимают некоторые виды грузов в строго ограниченном количестве, решается задача с ограничением пропускной способности. Данные задачи могут решаться несколькими методами, в том числе методом потенциалов. В левом верхнем углу ячейки задаётся ограничение пропускной способности, если пропускная способность не указана, то её величина принимается равной . Всё остальное аналогично транспортной задаче.

Алгоритм решения задачи закрытого типа

1-й шаг – построение первого опорного плана любым известным методом построения с учётом пропускной способности клеток;

2-й шаг – построение системы потенциалов. В отличие от стандартной задачи базисных клеток больше чем n+m-1. Те клетки, в которых величина перевозок равна пропускной способности, являются небазисными. Их необходимо проверять. Число базисных клеток должно составлять m+n-1. Если число меньше, то в качестве базисной можно принять любую свободную клетку.

Условием оптимальности для задачи с ограничением пропускной способности является отсутствие потенциальных клеток. Проверка для всех небазисных клеток осуществляется по трём условиям:

Для клеток с нулевой перевозкой:

(1.1)

Для всех базисных клеток:

(1.2)

Для клеток, в которых величина перевозки соответствует величине пропускной способности:

(1.3)

Последнее условие можно переписать так:

(1.4)

Где - стоимость перевозки в соответствующей клетке; - потенциал соответствующего столбца; - потенциал соответствующей строки; - величина перевозки в соответствующей клетке; - пропускная способность клетки; - величина возможной экономии на каждую единицу увеличения пропускной способности клетки.

В свободных клетках величина нарушения – положительное число.

В клетках с пропускной способностью – отрицательное.

3-й шаг – Выявление абсолютного по модулю нарушения, которое и будет началом цикла пересчёта. Цикл пересчёта – замкнутый контур ходом ладьи.

В том случае, когда в выбранной клетке с нарушением перевозка равна пропускной способности, порядковую нумерацию замкнутого контура начинают с 0, а не с 1. Тогда в чётных клетках величину перевозки уменьшают, а в нечётных – увеличивают.

В задачах с ограничениями пропускной способности величина, на которую изменяют план в клетках замкнутого контура х_ул, определяется не только минимальной перевозкой в чётных клетках, но и минимальной величиной, на которую можно увеличить перевозку в нечётных клетках по условиям пропускной способности:

(1.5)

Алгоритм повторяется до тех пор, пока не будут выполнены все 3 условия оптимальности.

Пример: Решить транспортную задачу, минимизируя стоимость перевозки грузов.

Таблица 1.1

пост. Ai	11	40	27	33	30	24
потр.Вj
30	15	18	8 3	8 8	24	18
35	23	8 2	12	6 4	35	7 10
28	17	11	5 6	21	9 4	12
40	6 12	4 5	22	24	35	20
32	29	24	16	20	8 9	24

Решение Строим начальный план любым из известных методов (например, методом наименьшей стоимости), учитывая пропускную способность клеток (Таблица 1.2). Находим клетку 2.2 со стоимостью 2 и помещаем в неё перевозку, равную пропускной способности. Затем находим клетку 1.3 и проделываем ту же операцию и так до тех пор, пока не будет распределена вся перевозка.

Таблица 1.2

пост. Ai	11,5, К	40,32, 28,14, 5	27,19, 14,К	33,27, 19,9, К	30,21, 13,К	24,17, К
потр.Вj
30,22, 14,9,К	5 15	9 18	8 8 3	8 8 8	24	18
35,27, 21,14,1	23	8 8 2	12	6 6 4	13 35	7 7 10
28,19, 14,К	17	14 11	5 5 6	21	9 9 4	12
40,36, 30,13, 4	6 6 12	4 4 5	22	9 24	35	17 20
32,24, 10,К	29	24	14 16	10 20	8 8 9	24

Если всю перевозку распределить не удастся, то производим коррекцию величины перевозки в клетках до полного распределения перевозки. (Таблица 1.3).

Таблица 1.3

пост. Ai	11,5, К	40,32, 28,14, 5, 4, К	27,19, 14,К	33,27, 19,9,К, -4,К	30,21, 13,К, -1,К	24,17, К	Ui
потр.Вj
30,22, 14,9,К	* 5 15	* 9 18	8 8 3	8 8 8	24	18	-6
35,27, 21,14,1,К	23	8 8 2	+ 12	6 6 4	* 14 35	7 7 10	18
28,19, 14,К,1,К	17	* 1 5 11	5 5 6	21	9 * 8 4	12	-13
40,36, 30,13,4,К	6 6 12	4 4 5	22	* 13 24	35	* 17 20	4
32,24, 10,К,4,К	29	* 4 24	* 14 16	* 6 20	8 8 9	24	0
Vj	21	24	16	20	17	16

После перераспределения величин перевозки считаем общую стоимость проекта:

C=15*5+18*9+3*8+8*8+2*8+4*6+14*35+10*7+11*15+5*6+4*8+ 12*6+5*4+24*13+20*17+24*4+14*16+20*6+9*8=75+162+24+64+16+24+490+70+165+30+32+72+20+312+340+96+224+120+72=2408

Отмечаем базисные клетки, в которых перевозка меньше пропускной способности. Количество их должно составлять 6+5-1=10. Если количество загруженных клеток с величиной перевозки меньше пропускной способности меньше m+n-1, то в качестве базисной можно выбрать любую свободную клетку или клетку, в которой перевозка равна пропускной способности.

Далее строим систему потенциалов и проверяем условие оптимальности плана. Присвоим строке 5 потенциал 0 и, исходя из условия 1.2, определим потенциалы оставшихся клеток.(Таблица 1.3)

Проверяем выполнение условий оптимальности во всех не базисных клетках. Для этого воспользуемся формулами 1.1. – 1.3., результаты заносим в таблицу 1.3. Выделяем те клетки, в которых наблюдается не соответствие с неравенствами 1.1-1.3. (Таблица 1.4)

Таблица 1.4

0	0	-7	-6	13	8
-16	-40	-22	-34	0	-24
9	0	+3	14	0	9
-13	-23	2	0	14	0
8	0	0	0	-8	8

Среди выбранных клеток выделяем клетку 2.3. с самым большим по модулю нарушением и строим ходом ладьи замкнутый контур, используя только базисные клетки. (Таблица 1.3). В нашей задаче это клетки 2.3, 5.3, 5.2, 3.2, 3.5, 2.5. По формуле 1.5. определяем величину перевозки, которую передвигаем. min (14;1). Перемещаем 1-у единицу.

Улучшенный план представлен в таблице 1.5.

Новая стоимость перевозки составит:

C=15*5+18*9+3*8+8*8+2*8+12*1+4*6+13*35+10*7+11*14+5*6+4*9+12*6+5*4+24*13+20*17+24*5+13*16+20*6+9*8=75+162+24+64+16+12+24+455+70+154+30+36+72+20+312+340+120+208+120+72=2386

Далее проделываем аналогичные операции до полного исчезновения клеток с нарушением неравенств 1.1-1.3. В этом случае план является оптимальным.

Дальнейшее решение представлено в таблицах 1.5-1.10.

Таблица 1.5

пост. Ai	11	40	27	33	30	24	Ui
потр.Вj
30	* 5 15	* 9 18	8 8 3	8 8 8	24	18	-6
35	23	8 8 2	* 1 12	6 6 4	* 13 35	7 7 10	-4
28	17	* 14 11	5 5 6	21	9 9 4	12	-13
40	6 6 12	4 4 5	22	* 13 24	35	* 17 20	4
32	29	* 5 24	* 13 16	* 6 20	8 8 9	24	0
Vj	21	24	16	20	39	16

Таблица 1.6

0	0	-7	-6	-9	8
6	-18	0	-12	0	-2
9	0	+3	14	-22	9
-13	-23	2	0	-8	0
8	0	0	0	-30	8

Таблица 1.7

пост. Ai	11	40	27	33	30	24	Ui
потр.Вj
30	* 5 15	18	8 8 3	8 8 8	* 9 24	18	-15
35	23	8 8 2	* 10 12	6 6 4	* 4 35	7 7 10	-4
28	17	* 14 11	5 5 6	21	9 9 4	12	-13
40	6 6 12	4 4 5	22	* 1 3 24	35	* 17 20	4
32	29	* 14 24	* 4 16	* 6 20	8 8 9	24	0
Vj	30	24	16	20	39	16

Новая стоимость перевозки составит: C==2305

Таблица 1.8

0	9	+2	+3	0	17
-3	-18	0	-12	0	-2
0	0	+3	14	-22	9
-22	-23	2	0	-8	0
-1	0	0	0	-30	8

Таблица 1.9

пост. Ai	11	40	27	33	30	24	Ui
потр.Вj
30	* 5 15	18	8 8 3	8 8 8	* 9 24	18	-7
35	23	8 8 2	* 14 12	6 6 4	35	7 7 10	-4
28	17	* 1 4 11	5 5 6	21	9 9 4	12	-13
40	6 6 12	4 4 5	22	* 9 24	* 4 35	* 17 20	4
32	29	* 1 4 24	* 0 16	* 10 20	8 8 9	24	0
Vj	22	24	16	20	31	16

Новая стоимость перевозки составит: C==2273

Таблица 1.8

0	1	-6	-5	0	9
5	-18	0	-12	8	-2
8	0	+3	14	-14	9
-14	-23	2	0	0	0
7	0	0	0	-22	8

Таблица 1.9

пост. Ai	11	40	27	33	30	24	Ui
потр.Вj
30	* 5 15	18	8 8 3	8 8 8	* 9 24	18	-7
35	23	8 8 2	* 14 12	6 6 4	35	7 7 10	-4
28	17	* 19 11	5 6	21	9 9 4	12	-13
40	6 6 12	4 4 5	22	* 9 24	* 4 35	* 17 20	4
32	29	* 9 24	* 5 16	* 10 20	8 8 9	24	0
Vj	22	24	16	20	31	16

Новая стоимость перевозки составит: C==2258

Таблица 1.10

0	1	-6	-5	0	9
5	-18	0	-12	8	-2
8	0	+3	14	-14	9
-14	-23	2	0	0	0
7	0	0	0	-22	8

Так как нарушение в клетках отсутствует, план является оптимальным. Минимальная стоимость при этом составит 2258.

ЗАДАЧА 2