Пример 16.
В таблице (5.6) представлены суммы налогов (в тыс. долл.), собранных поквартально за 1999 – 2003 гг. в бюджет некоторого города. Используя метод Хольта – уинтерса, построим прогноз величины собранных налогов на следующий (2004) год.
Таблица 5.6 – суммы налогов, тыс. долл.
Год |
Квартал |
t |
Собранные налоги |
1 |
2 |
3 |
4 |
1999 |
1 |
1 |
76 |
2 |
2 |
93 |
|
3 |
3 |
108 |
|
4 |
4 |
128 |
|
2000 |
1 |
5 |
196 |
2 |
6 |
175 |
|
3 |
7 |
141 |
|
4 |
8 |
236 |
|
2001 |
1 |
9 |
256 |
2 |
10 |
190 |
|
3 |
11 |
227 |
|
4 |
12 |
299 |
|
2002 |
1 |
13 |
403 |
2 |
14 |
282 |
|
3 |
15 |
288 |
|
4 |
16 |
387 |
|
2003 |
1 |
17 |
484 |
2 |
18 |
384 |
|
3 |
19 |
330 |
|
4 |
20 |
497 |
Анализ квартальных данных указывает на наличие сезонности: так, данные за первые кварталы практически по всем годам превышают среднее квартальное значение. На рис. 5.9 изображен график изменения рассматриваемого показателя, который наглядно представляет наличие сезонных колебаний.
Используя
линейное и сезонное сглаживание,
определим сглаженные величины
и прогнозные значения
для всех периодов, полагая
Рис. 5.9. Изменение суммы собранных налогов
Способ 1. определим начальные значения: T0 = 0, L0 = Y4 =128, и все сезонные индексы равны 1.
Выполним вычисления, например, для периодов t = 1, t = 2 и t = 10.
t = 1
;
t = 2
;
t = 10
У10 = 190
Результаты расчетов сведем в табл. 5.7.
Таблица 5.7 – Результаты линейного и сезонного сглаживания. Способ 1.
Год
|
Квартал
|
t
|
Собранные налоги , Yt |
|
1-й способ |
|
|
|
St |
Ft |
bt |
|
Yt – |
||||
1998 |
1 |
|
|
|
1,00 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1,00 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1,00 |
|
|
|
|
4 |
|
|
128,00 |
1,00 |
0,00 |
|
|
1999 |
1 |
1 |
76 |
122,80 |
0,89 |
-1,04 |
128,00 |
-52,00 |
|
2 |
2 |
93 |
118,88 |
0,93 |
-1,62 |
128,00 |
-35,00 |
|
3 |
3 |
108 |
116,34 |
0,98 |
-1,80 |
128,00 |
-20,00 |
|
4 |
4 |
128 |
115,89 |
1,03 |
-1,53 |
128,00 |
0,00 |
2000 |
1 |
5 |
196 |
125,05 |
1,09 |
0,61 |
101,28 |
94,72 |
|
2 |
6 |
175 |
131,82 |
1,05 |
1,84 |
117,45 |
57,55 |
|
3 |
7 |
141 |
134,70 |
1,00 |
2,05 |
130,78 |
10,22 |
|
4 |
8 |
236 |
145,95 |
1,21 |
3,89 |
141,03 |
94,97 |
2001 |
1 |
9 |
256 |
158,34 |
1,25 |
5,59 |
163,36 |
92,64 |
|
2 |
10 |
190 |
165,59 |
1,08 |
5,92 |
172,55 |
17,45 |
|
3 |
11 |
227 |
177,08 |
1,08 |
7,04 |
171,33 |
55,67 |
|
4 |
12 |
299 |
190,48 |
1,32 |
8,31 |
222,24 |
76,76 |
2002 |
1 |
13 |
403 |
211,19 |
1,45 |
10,79 |
248,11 |
154,89 |
|
2 |
14 |
282 |
225,87 |
1,13 |
11,57 |
239,97 |
42,03 |
|
3 |
15 |
288 |
240,27 |
1,12 |
12,13 |
257,35 |
30,65 |
|
4 |
16 |
387 |
256,57 |
1,37 |
12,97 |
332,12 |
54,88 |
2003 |
1 |
17 |
484 |
276,05 |
1,54 |
14,27 |
389,79 |
94,21 |
|
2 |
18 |
384 |
295,23 |
1,18 |
15,25 |
328,43 |
55,57 |
|
3 |
19 |
330 |
308,94 |
1,10 |
14,94 |
347,21 |
-17,21 |
|
4 |
20 |
497 |
327,68 |
1,42 |
15,70 |
444,89 |
52,11 |
Сделаем прогноз на следующий год.
t
= 21
t
= 22
t
= 23
t
= 24
Используем способ 2 для определения начальных значений. В соответствии с этим способом данные за первые два года используем для вычисления начальных значений индексов сезонности (метод определения индексов сезонности подробно описан в примере 9).
Вначале с помощью скользящих средних сгладим ряд исходных данных, и выделим сезонную компоненту. Затем найдем индексы сезонности. Расчеты – в табл. 5.8 и 5.9.
Таблица 5.8 – Вычисление оценки сезонных индексов
Год
|
Квартал
|
t
|
Собранные налоги,Yt |
Скользящая средняя, период 4 |
Центрированная скользящ. средн |
Оценка сезонности |
1999 |
1 |
1 |
76 |
#Н/Д |
|
|
|
2 |
2 |
93 |
#Н/Д |
#Н/Д |
|
|
3 |
3 |
108 |
#Н/Д |
116,25 |
0,93 |
|
4 |
4 |
128 |
101,25 |
141,50 |
0,90 |
2000 |
1 |
5 |
196 |
131,25 |
155,88 |
1,26 |
|
2 |
6 |
175 |
151,75 |
173,50 |
1,01 |
|
3 |
7 |
141 |
160,00 |
194,50 |
0,72 |
|
4 |
8 |
236 |
187,00 |
203,88 |
1,16 |
2001 |
1 |
9 |
256 |
202,00 |
216,50 |
1,18 |
|
2 |
10 |
190 |
205,75 |
235,13 |
0,81 |
|
3 |
11 |
227 |
227,25 |
261,38 |
0,87 |
|
4 |
12 |
299 |
243,00 |
291,25 |
1,03 |
2002 |
1 |
13 |
403 |
279,75 |
310,38 |
1,30 |
|
2 |
14 |
282 |
302,75 |
329,00 |
0,86 |
|
3 |
15 |
288 |
318,00 |
350,13 |
0,82 |
|
4 |
16 |
387 |
340,00 |
373,00 |
1,04 |
2003 |
1 |
17 |
484 |
360,25 |
391,00 |
1,24 |
|
2 |
18 |
384 |
385,75 |
410,00 |
0,94 |
|
3 |
19 |
330 |
396,25 |
|
|
|
4 |
20 |
497 |
423,75 |
|
|
Таблица 5.9 – Определение индексов сезонности
|
|
|
Кварталы |
|
|
Год |
1 |
2 |
3 |
4 |
Сумма |
1 |
|
|
0,93 |
0,90 |
|
2 |
1,26 |
1,01 |
0,72 |
1,16 |
|
3 |
1,18 |
0,81 |
0,87 |
1,03 |
|
4 |
1,30 |
0,86 |
0,82 |
1,04 |
|
5 |
1,24 |
0,94 |
|
|
|
Ср.знач |
1,24404 |
0,90261 |
0,83625 |
1,03158 |
4,01448 |
Скоррект. |
1,24042 |
0,89899 |
0,83263 |
1,02796 |
4,00000 |
Индекс |
1,24 |
0,9 |
0,83 |
1,03 |
4 |
В результате имеем индексы сезонности:
квартал 1 – 1,24; квартал 2 – 0,90; квартал 3 – 0,83; квартал 4 – 1,03.
Значения Yt за первые два года десезонолизируем делением на соответствующие индексы сезонности и на основе десезонолизированных данных (dt) методом наименьших квадратов построим линию регрессии:
ЛИНЕЙН
-
20,66668
53,31793
2,687541
13,57142
0,907881
17,41726
59,1332
6
17938,69
1820,165
.
Величину 20,667 (округленная до 21) примем за начальное значение углового коэффициента тренда (Т0). Затем определим начальное сглаженное значение для четвертого квартала в 1998 году:
L0 = (а + b0)(начальное значение индекса сезонности для квартала 4 =
= 53,318 1,03 = 55.
Значение
L0
= 55 возьмем в качестве прогноза
для каждого из кварталов 1998 года.
Приняли
;
;
Результаты расчетов при использовании 2-го способа для определения начальных значений представлены в табл. 5.10.
Таблица 5.10 – Результаты линейного и сезонного сглаживания. Способ 2
Год |
Квартал |
Yt |
Lt |
St |
Tt |
|
et= |
1998
|
|
|
|
1,24 |
|
|
|
|
|
|
0,9 |
|
|
|
|
|
|
|
0,83 |
|
|
|
|
|
|
55 |
1,03 |
21 |
|
|
|
1999
|
1 |
76 |
74,53 |
1,17 |
20,71 |
55 |
21,00 |
2 |
93 |
96,05 |
0,92 |
20,87 |
55 |
38,00 |
|
3 |
108 |
118,20 |
0,86 |
21,13 |
55 |
53,00 |
|
4 |
128 |
137,85 |
1,00 |
20,83 |
55 |
73,00 |
|
2000
|
5 |
196 |
159,50 |
1,19 |
20,99 |
186,32 |
9,68 |
6 |
175 |
181,47 |
0,93 |
21,19 |
166,01 |
8,99 |
|
7 |
141 |
198,85 |
0,81 |
20,43 |
173,67 |
-32,67 |
|
8 |
236 |
220,99 |
1,02 |
20,77 |
218,87 |
17,13 |
|
2001
|
9 |
256 |
239,09 |
1,15 |
20,24 |
287,84 |
-31,84 |
10 |
190 |
253,75 |
0,88 |
19,12 |
241,98 |
-51,98 |
|
11 |
227 |
273,52 |
0,82 |
19,25 |
221,73 |
5,27 |
|
12 |
299 |
292,84 |
1,02 |
19,26 |
298,36 |
0,64 |
|
2002
|
13 |
403 |
315,79 |
1,19 |
20,00 |
360,36 |
42,64 |
14 |
282 |
334,34 |
0,87 |
19,71 |
294,77 |
-12,77 |
|
15 |
288 |
353,86 |
0,82 |
19,67 |
289,54 |
-1,54 |
|
16 |
387 |
374,14 |
1,02 |
19,79 |
380,88 |
6,12 |
|
2003 |
17 |
484 |
395,17 |
1,20 |
20,04 |
469,21 |
14,79 |
18 |
384 |
417,96 |
0,88 |
20,59 |
360,20 |
23,80 |
|
19 |
330 |
435,10 |
0,80 |
19,90 |
358,12 |
-28,12 |
|
20 |
497 |
458,04 |
1,04 |
20,51 |
465,96 |
31,04 |
Сделаем прогноз на следующий год.
t
= 21
t
= 22
t
= 23
t
= 24
Графики фактических значений временного ряда (ряд 1) и прогнозных величин, найденных первым (ряд 2) и вторым (ряд 3) способами представлены на рис. 5.10.
рис. 5.10. Прогноз по методу Хольта – Винтерса
Как видно из рис. 5.10, более сложный способ 2 дает лучшие результаты сглаживания, хотя прогнозы на будущее оказываются близки по величине.