9. Интеграл Фурье для четной и нечетной функций.

Пусть - четная функция, тогда

,

,

и .

Тогда за принято обозначать (А) - прямое преобразование и (В) – обратное преобразование.

Эта пара формул называется парой косинус-преобразований Фурье.

Если считать заданной, а - искомой функцией, то равенство (А) является интегральным уравнением для функции . Формула (В) дает решение этого уравнения.

Пусть - нечетная функция, тогда

,

,

и .

Тогда за принято обозначать - прямое преобразование и – обратное преобразование.

Эта пара формул называется парой синус - преобразований Фурье.

Для четной функции имеет место равенство (при продолжается четным образом)

Для нечетной функции имеет место равенство (при продолжается нечетным образом)

Синус- и косинус-преобразования Фурье могут применяться к функциям, заданным на положительной полуоси , если они абсолютно интегрируемы вдоль этой полуоси и удовлетворяют на любом ее конечном отрезке условиям Дирихле. При этом синус-преобразование продолжает функцию на отрицательную полуось нечетным образом, а косинус-преобразование – четным.

Многообразны применения преобразования Фурье в теории вероятностей (теория характеристических функций), при решении краевых задач, а также в электронике и других технических областях.

10. Спектральные характеристики интеграла Фурье.

Спектральной функцией (спектральной плотностью) интеграла Фурье называется прямое преобразование Фурье при :

.

Амплитудным спектром называется функция - модуль спектральной функции.

Фазовым спектром называется функция - аргумент спектральной функции, взятый с противоположным знаком.

Функции и непрерывно зависят от частоты ( - непрерывна -непрерывна), поэтому их графики изображаются непрерывными линиями в отличие от дискретных линейчатых спектров периодических функций.

Вообще, - комплексная функция и для действительных . Исходная функция также может принимать комплексные значения, обладая действительным аргументом .

Так как функция вообще является комплексной функцией, то может быть представлена в виде:

, где - вещественная и мнимая части функции , - ее модуль и фаза:

,

.

Комплексная функция может быть изображена на комплексной плоскости как множество точек с координатами .