2. Спектральные характеристики для комплексной формы.

   1. Частотные спектры: представляют собой последовательность частот и частот где в зависимости от . Эти спектры симметричны относительно начала координат (так как и при ).

2. Линейчатые спектры: представляют собой последовательность , где и последовательность

где , в зависимости от .

Эти спектры симметричны относительно оси ординат (т.к. и ).

3. Амплитудный спектр (амплитудно-частотный): представляет собой последовательность ,

при и

при и

при и

Этот спектр симметричен относительно оси ординат, т.к. = .

4. Фазовый спектр (фазово-частотный): представляет собой последовательность при в зависимости от .

Этот спектр симметричен относительно начала координат (так как и ).

Можно заметить, что спектральные характеристики для комплексной формы при совпадают со спектральными характеристиками для вещественной формы.

5. Спектральная функция.

В комплексной записи ряда Фурье перейдем к частоте , измеряемой в герцах: .

Используя соотношение , получим:

, где ,

Таким образом, периодическая функция может быть выражена через частотные составляющие с частотами , образующими ее спектр частот.

Если дана функция , то можно определить ее спектр частот.

Спектральной функцией или спектральной плотностью ряда Фурье называется отношение комплексной амплитуды функции периода к приращению частоты

Частоты образуют бесконечную арифметическую прогрессию с разностью .

Например, спектральная плотность величины, характеризующей излучение (потока излучения, силы света) - отношение рассматриваемой величины, взятой в бесконечно малом интервале, содержащем данную длину волны, к ширине этого интервала.

График зависимости спектральной плотности от длины волны или частоты характеризует распределение соответствующей величины (комплексной амплитуды) по спектру.

А мплитудным спектром называется модуль спектральной функции:

Этот спектр симметричен относительно оси ординат, так как и соответственно = , .

Фазовым спектром называется взятый с обратным знаком аргумент спектральной функции .

Так как

, то фазовый спектр совпадает с фазово-частотным спектром , симметричным относительно начала координат, только строится в зависимости от :

6. Нахождение сумм числовых рядов.

Функция называется кусочно-монотонной на отрезке , если этот отрезок можно разбить на конечное число отрезков:

, внутри каждого из которых функция либо строго монотонна (только возрастает или только убывает) либо постоянна. (см. второе условие Дирихле).

Пусть периодическая функция ограничена и кусочно-монотонна на отрезке , тогда в случае, если интегрируема, ряд сходится и верно равенство , где

(или , учитывая периодичность ).

Это равенство называется равенством Парсеваля-Ляпунова. С его помощью находится сумма ряда , где и - коэффициенты ряда Фурье.