§6. Енергія і робота при обертальному русі

Кінетична енергія. При обертанні навколо нерухомої осі кінетична енергія визначається формулою

, (1.64)

де I – момент інерції тіла навколо цієї осі, – кутова швидкість.

У загальному випадку рух тіла – це накладання двох рухів – поступального з швидкістю центра інерції й обертального з кутовою швидкістю  навколо осі, яка проходить через центр інерції тіла.

У цьому випадку формула для кінетичної енергії отримує найбільш простий вигляд:

, (1.65)

де – момент інерції відносно осі обертання, що проходить через центр інерції тіла.

Таким чином, у загальному випадку руху тіла його кінетична енергія складається з кінетичної енергії поступального руху і кінетичної енергії обертального руху навколо осі, яка проходить через центр інерції тіла.

Робота при обертання твердого тіла. Якщо результуючий момент сил які діють на тіло, не змінюється ( ), то робота при обертанні:

A = M, (1.66)

де  – кут повороту. Якщо результуючий момент M є змінною величиною, то весь кут повороту потрібно розбити на елементарні повороти _i , такі малі, що моменти сил M_i на цих ділянках можна вважати незмінними величинами. Тоді для кожної i-ї ділянки можна застосувати формулу (1.66), а повна робота буде дорівнювати:

. (1.67)

Формула (1.67) тим точніше визначає роботу, чим менші _i. Строгий знак рівності можна поставити тільки під знаком границі при _i 0. В результаті отримаємо:

, (1.68)

де ₁ і ₂ – початковий і кінцевий кути повороту. Таким чином, щоб визначити роботу при обертальному русі, потрібно результуючий момент сил, що діють на тіло, проінтегрувати за кутом повороту.

На координатній площині (M, ) робота чисельно дорівнює

Рис. 13

площі криволінійної трапеції, яка зверху обмежена графіком M=f(), знизу віссю кутa повороту, ліворуч і праворуч прямими  = ₁ і  = ₂ (див. рис. 13).

§7. Рівняння руху тіла і умови рівноваги

Рух тіла визначається зовнішніми силами, що діють на тіло і моментами цих сил.

Рівняння руху тіла має вигляд:

(1.69)

. (1.70)

Формула (1.69) описує поступальний рух тіла, де  – прискорення центра інерції тіла, формула (1.70) – обертальний рух. Моменти сил у формулі (1.70) можна брати відносно будь-якої нерухомої осі або такої, що рухається без прискорення.

Умови рівноваги тіла мають вигляд:

, (1.71) . (1.72)

Якщо виконується умова (1.71), то відсутній поступальний рух, а якщо (1.72) – то відсутній обертальний рух. Якщо умови (1.71), (1.72) виконуються одночасно, то тіло знаходиться у рівновазі.

Умова (1.72) повинна виконуватися відносно будь-якої нерухомої осі. Якщо вона виконується відносно трьох осей, що не лежать в одній площині, то вона виконується і відносно будь-якої осі. Тому його звичайно перевіряють відносно трьох координатних осей.

лінійнй шлях		кут повороту
лінійна швидкість		кутова швидкість
лінійне прискорення		кутове прискорення
сила		момент сили
маса		момент інерції
імпульс		Момент імпульсу

Висновок. Таким чином, якщо у формулах поступального руху зробити наступні шість замін:

то всі формули поступального руху тіла правильним чином перейдуть у відповідні формули обертального руху.

Список основних формул

Поступальний рух Обертальний рух