3.2 Математичні моделі консервативних систем мо

Система МО називається консервативною, якщо між інтенсивностями і існує таке співвідношення:

. (3.13).

При дослідженні консервативних систем часто знаходять не всі перехідні ймовірності, а лише ті, які характеризують стани системи в момент часу t. Для розв’язку такої задачі рівняння (3.8) слід записати для випадку коли . В результаті отримаємо

.

Якщо ввести позначення і , то будемо мати таке диференціальне рівняння:

. (3.14)

з такою початковою умовою:

, (3.15)

яка характеризує стан системи в момент часу t=0

Для більшості систем МО повинні виконуватись умови нормування:

(3.16)

3.3 Обчислення інтенсивностей переходів марківських процесів

Допустимо, що при умові в момент часу t протікають операції , ,..., . При цьому величина роботи, яка пов’язана з виконанням -ої з таких операцій випадкова величина , що розподілена за експоненціальним законом з параметром , . Крім того допустимо, що - незалежні випадкові величини. Позначимо через темп виконання операції за умови, що . Якщо в даному стані деяка операція не виконується але може виконуватись, то можна включити її в число операцій що “продовжуються”, вважаючи, що відповідні .

Якщо величина роботи, пов’язана з виконанням операції, виражаються в одиницях часу, то допускають , якщо k-та операція виконується – в протилежному випадку.

Нехай система знаходиться в стані і. Позначимо через ймовірність переходу системи в стан j за умови, що закінчилася операція .

Тоді інтенсивності переходів марківського процесу обчислюються за такою формулою:

. (3.18)

3.4 Система із n приладів і r із них можуть відновлюватись

Система складається із N приладів, час безвідмовної роботи, кожного із них експоненціально-розподілена випадкова величина з параметром .

Позначимо через число елементів, що знаходяться в момент часу в неробочому стані, тоді . Є r  i операторів, кожен із яких може одночасно відновлювати лише один прилад. Якщо число приладів, що відмовили більше r, то r елементів відновлюються, інші утворюють чергу на відновлення. В стані і маємо і₀=mini,r операцій відновлення О_і1,..., О_іі0. Допускаємо, що операції відновлення мають експоненціальний закон розподілення з параметром  і . Очевидно, що .

Закінчення однієї із операцій відновлення приводить до зменшення несправних приладів на одиницю. Це означає, що система переходить в новий стан і  і-1. Отже f_i,i-1(1)= f_i,i-1(2)=...= f_i,i-1(i₀)=1 ( - ймовірності закінчень однієї із k-тих операцій відновлення О_ik, ) і f_ij(1) = f_ij(2) =... = f_ij(i_o) = 0, .

Кількість операцій , які зв’язані з експлуатацією працездатних приладів, позначимо через О_і,і0+1, О_і,і0+2,..., О_і,і0+N-i. Допустимо також, що час роботи приладів, мають експоненціальний закон розподілу з параметром l, тобто . Відповідно _і,і0+1 = _і,і0+2 =... = _і,і0+N-i = 1.

Вихід із ладу одного із робото здатних приладів переводить систему із стану і в стан і+1, а це означає, що

,

, ji+1

За формулою(3.18) знаходимо

(і₀ - доданків)

(( ) - доданків)

Для інших значень j q _ij = 0

Отже,

(3.19)

q_{i,i +1}=(N-i); (3.20)

q_ij=0 при j  i -1, i +1. (3.21)

Приклад 3.3. Розглянемо систему, яка складається із трьох придатних до роботи в момент часу приладів (наприклад, комп’ютерів) з експоненціально розподіленими тривалостями життя (параметр ).

В ремонтній майстерні одночасно може ремонтуватись тільки один прилад, що вийшов із ладу. Тривалість ремонту розподілена експоненціально (параметр ). Завжди одночасно працюють два прилади, а третій або в “холодному” резерві або ремонтується. Система припиняє свою роботу, якщо виходять із ладу два прилади.

Шукаємо ймовірність того, що система на момент часу t вийде із ладу.

Нехай стан системи означає кількість приладів, що вийшли з ладу. Тоді система буде мати наступні стани:

0 – всі прилади придатні до роботи ;

1 – вийшов з ладу один прилад ;

2 – вийшли з ладу два прилади.

Відповідними ймовірностями є . Очевидно, що .

Марківський граф системи поданий на рис. 3.2. Відбувається стрибок вверх , якщо один із працюючих приладів виходить із ладу.

Рисунок 3.2 – Граф системи МО

Оскільки розподіл ймовірностей експоненціальний, то , і . Стрибок вниз відчувається після закінчення ремонту. Стан є „поглинаючим”, тобто, коли система досягла цього стану, то вона вже його не покидає. Тому .

Складемо систему диференціальних рівнянь у відповідності з (3.14). В нашому випадку . Отже

;

;

;

Запишемо рівняння (3.14) в матрично-векторній формі:

де ; А – інфінітезимальна матриця. Для випадку, що розглядається

Якщо врахувати значення , , і , ,то

Останнє матричне рівняння розкладається на такі рівняння:

Отже, система диференціальних рівнянь буде мати вигляд:

З початковими умовами і умовою нормування .

Отриману систему диференціальних рівнянь легко розв’язати, застосувавши до неї перетворення Лапласа.

Перше і друге рівняння запишемо в такій формі:

Маємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь з двома невідомими, із якої знаходимо:

Третє рівняння системи дає:

Враховуючи значення , маємо:

Знаходження величин , і як функцій часу t полягає в знаходженні зворотного перетворення Лапласа за формулою:

(3.17)

де - полюси функції

Відмітимо, що умови нормування зберігаються і для зображень .

Розв’яжемо задачу при значеннях і .

Спочатку знайдемо полюси функцій , розв’язавши рівняння _. Тоді і . Використовуючи формулу (3.27), в якій , знаходимо , . Оскільки функція має три полюси – , і , то застосувавши формулу (3.27), в якій , знаходимо .

Задачу, яка розглянута нами, можна розв’язати дещо по-іншому, використавши векторно-матричну форму подання математичної моделі системи масового обслуговування

з вектором початкових умов - . Подальші обчислення ведемо з використанням програмного продукту MathCAD (рис. 3.3).

РОЗВ'ЯЗОК МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ СИСТЕМИ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ

З КІНЦЕВИМ ЧИСЛОМ СТАНІВ

Параметри системи МО

Інфінітіземальна матриця системи МО

Одинична матриця системи

Знаходимо розв'язок матрично-векторного рівняння системи в термінах перетворення Лапласа

Перехідні ймовірності системи МО з кінцевим числом станів

Графіки ймовірностей Pj(t) як функцій часу t

Рисунок 3.3 – Програма розв'язку задачі масового обслуговування з кінцевим числом станів

Приклад 3.4. Система масового обслуговування складається із п’яти приладів. Одночасно працює три прилади. Два інші ремонтуються, або знаходяться в "холодному" резерві. Тривалості життя приладів і тривалість ремонту кожного із несправних приладів випадкові незалежні експоненціально розподілені величини з параметрами і . Ремонтує несправні прилади один оператор. Система припиняє свою роботу, якщо виходять із ладу два прилади.

Шукаємо ймовірність того, що система на момент часу t вийде із ладу.

Нехай стан системи означає кількість приладів, що вийшли з ладу. Тоді система буде мати наступні стани:

0 – всі прилади придатні до роботи ;

1 – вийшов з ладу один прилад ;

2 – вийшли з ладу два прилади;

3 – вийшли з ладу три прилади.

Відповідними ймовірностями є . Очевидно, що .

Граф системи МО показаний на рис. 3.4.

Рисунок 3.4 – Граф системи масового обслуговування з кінцевим числом станів

Знайдемо перехідні інтенсивності . У відповідності з формулою(3.19) маємо , і . Оскільки ремонтом приладів займається тільки один оператор, то за формулою (3.19) знаходимо, що і . Інші значення . Складемо інфінітезимальну матрицю системи МО

. Приймаючи до уваги знайдені значення ,отримуємо . У відповідності з формулою (3.13) для знаходження інтенсивностей , необхідно просумувати елементи відповідних рядків матриці А. Тоді , , і . Отже,

.

Знаючи інфінітезимальну матрицю А, можемо записати векторно-матричне рівняння системи масового обслуговування

(3.21)

з початковою умовою . Виконавши перетворення Лапласа над рівнянням (3.21) і врахувавши початкову умову, знаходимо

.

Тепер для того, щоб отримати необхідно перейти до зворотного перетворення Лапласа. Отже,

,

де - символ зворотного перетворення Лапласа.

Подальші обчислення доцільно здійснити, використавши програмний продукт MathCAD (рис. 3. 5).

РОЗВ'ЯЗОК МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ СИСТЕМИ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ

З КІНЦЕВИМ ЧИСЛОМ СТАНІВ

Параметри системи МО

Інфінітіземальна матриця системи МО

Одинична матриця системи

Знаходимо розв'язок матрично-векторного рівняння системи в термінах перетворення Лапласа

Перехідні ймовірності системи МО з кінцевим числом станів

Графіки ймовірностей Pj(t) як функцій часу t

Рисунок 3.5 – Програма розв'язку математичної моделі системи масового обслуговування з кінцевим числом станів

Контрольні запитання і завдання

1. Які основні допущення зроблені при складанні математичної моделі з кінцевим числом станів?