3 Математична модель системи мо з кінцевим числом станів
3.1 Зворотні та прямі рівняння Колмогорова
Допустимо, як і раніше, що перехідні ймовірності стаціонарні, тобто
.
Крім того, допустимо,
що простір станів S
кінцевий
.
Марківські
властивості вимагають, щоб
задовольняли умовам:
а) 
,
б) 
,
в) 
- рівняння Колмогорова-Чепмена,
г)
Якщо позначити
через
матрицю з елементами
,
,
то умову (в) можна записати компактніше,
як добуток двох матриць
,
тобто матриці
та
- комутативні. З врахуванням умови (г)
,
де
- одинична матриця.
Для неперервних (t - неперервне) марківських ланцюгів з нескінченим (пронумерованим) числом станів існують границі
(3.1)
,
,
(3.2)
де
,
,
тобто
завжди мають кінцеве значення, а
можуть приймати і нескінчено великі
значення.
Рівняня (3.1) і (3.2) можна об’єднати в одне матричне рівняння
,
(3.3)
де
- так звана інфінітизімальна матриця:
.
Знайдемо
.
Перейдемо до
граничних значень в лівій і правій
частинах останнього рівняння, коли
.
Оскільки
,
а згідно формули (3.3)
,
то
.
(3.4)
Аналогічно отримаємо
.
Якщо тепер перейти до граничних значень, то
.
(3.5)
Рівняння (3.4) і (3.5) будуть відповідно зворотнім та прямим рівняннями Колмогорова.
Із матричного рівняння (3.4) випливає, що
.
(3.6)
В рівнянні (3.6) розкриємо оператор суми. В результаті отримаємо
.
(3.7)
Якщо рівняння
(3.7) порівняти із рівнянням (2.3), то
приходимо до висновку, що
,
і
в інших випадках. Як і раніше
;
,
,
.
Змінюючи і
в числах від 0 до N,
знайдемо інфінітизімальну матрицю для
кінцевого числа станів системи, коли
її модель подана у вигляді системи
зворотних
диференціальних рівнянь.
Отже,
.
Аналогічно (3.6) із матричного рівняння (3.5) отримаємо
.
(3.8)
Рівняння (3.8) подамо в розгорнутому вигляді
,
(3.9)
Порівнюючи рівняння
(3.9) з рівнянням (2.4) приходимо до висновку,
що
,
і
для інших значень i
та
j. Крім того
,
;
.
Змінюючи j в межах від 0 до N знаходимо інфінітезимальну матрицю системи МО, яка має кінцеве число станів. Отже, для прямого рівняння Колмогорова маємо
. (3.9)
.
Матричні рівняння (3.4) і (3.5) з початковою умовою мають такий розв’язок:
.
(3.10)
Матрична функція
носить назву фундаментальної
матриці. Її
розв’язок можна знайти, використавши
метод Келі-Гамільтона у відповідності
з яким
,
(3.11)
де n – розмір квадратної матриці А.
Коефіцієнти
є розв’язком системи лінійних алгебраїчних
рівнянь
.
де
- характеристичні числа матриці А,
які можна знайти розв’язавши рівняння
.
(3.12)
Для випадку, коли серед коренів характеристичного рівняння (3.12) є корінь кратності r, коефіцієнти обчислюються із системи рівнянь
,
,
де
.
Приклад 3.1.
Для системи масового обслуговування з
кінцевим числом станів
,
інтенсивністю вхідного потоку
і інтенсивністю обслуговування
визначити зміну перехідних ймовірностей
в часі, якщо
.
Математичну модель такої системи масового обслуговування запишемо в матрично-векторній формі . Інфінітезимальна матриця системи
.
Матричне рівняння з початковою умовою має такий розв’язок: . Подальші обчислення здійснюємо, використовуючи програмний продукт MathCAD (рис. 3.1).
Рисунок 3.1 – Програма розв'язку математичної моделі системи масового обслуговування