12.Електромагнітні коливання та хвилі

12.1. Коливальний контур

1. Коливальним RLC-контуром (див.Мал.133) називається замкнений електричний контур, у якому є конденсатор із ємністю С, омічний опір R та соленоїд з індуктивністю L. В цей контур може бути ввімкнено джерело струму із примусовою електрорушійною силою Е= Е₀cost. У загальному випадку протікання струму І в контурі на елементах контуру виникає

• напруга на опорі = IR,

• напруга на конденсаторі ,

• ЕРС індукції у соленоїді .

2 . Застосовуючи друге правило Кірхгофа до такого контуру, одержимо

. (1)

Підставляючи відповідні вирази для напруги та електрорушійних сил, одержимо

. (2)

Для одержання канонічного диференціального рівняння коливань заряду на обкладках конденсатора, підставимо у (2) замість І його значення і розділимо рівняння на індуктивність L

, (3)

де позначено

, , . (4)

3. Диференціальне рівняння (3) по своїй структурі тотожне з рівнянням механічних коливань, наприклад, коливаннями пружинного маятника. З цієї причини ми скористаємося розв'язками диференціального рівняння для механічних коливань, підставляючи відповідні значення параметрів з (4).

12.2. Незгасаючі електромагнітні коливання

1. Незгасаючі вільні електромагнітні коливання, або близькі до них, виникають, коли в контурі без зовнішнього джерела енергії (Е = 0) можна знехтувати омічним опором (R  0). В цьому випадку рівняння незгасаючих електромагнітних коливань буде мати вигляд

, (1)

а його розв'язком є

. (2)

Сталі розв'язку q_o та  знаходяться з початкових умов, наприклад, якщо задано величини заряду на конденсаторі та струму у контурі в деякий момент часу t.

2. Характеристики коливань

• амплітуда коливань,

• фаза коливань,

• початкова фаза,

• частота коливань

, (3)

• період коливань

, (4)

струм у колі

. (5)

Коливання струму випереджають коливання заряду за фазою на /2.

Напруга на обкладках конденсатора

. (6)

Напруга на соленоїді

, (7)

. (8)

Величини та , що фігурують в (6) та (8) називаються реактивними опорами конденсатора та індуктивності відповідно.

Електрична та магнітна енергії контуру задаються виразами

. (9)

. (10)

Зважаючи на те, що

,

магнітну енергію можна записати у вигляді

. (11)

Середні значення енергій <W_m> та <W_m> за період задаються виразами

, (12)

, (13)

де середнє значення косинуса є

.

Таким чином одержимо

,

а повна енергія буде такою

. (14)

Під час коливань електрична енергія конденсатора (потенціальна енергія) переходить у магнітну енергію соленоїда (кінетична енергія) і навпаки так, що зберігається повна енергія контуру W.

• Хвильовий опір контуру змінному струмові визначається так

. (15)

12.3. Вільні згасаючі електромагнітні коливання

1. Вільні згасаючі електромагнітні коливання виникають у RLC-контурі у тому випадкові, коли в ньому відсутнє зовнішнє джерело енергії ( ). Рівняння цих коливань запишеться у вигляді

, (1)

а його розв'язком є

, (2)

де

 = = ,  = (3)

циклічна частота.

2. Характеристики згасаючих коливань

• Амплітуда коливань є спадною функцією часу

А(t)=A_oe^-t, (4)

• Період коливань

= = , (5)

• час релаксації

= , (6)

• число повних коливань за час релаксації

, (7)

• логарифмічний декремент згасання

, (8)

• добротність контура

, (9)

У випадку малого опору R ( , а ), коли можна покласти

(10)

= . (11)

Величина A²(t)-A²(t+T) пропорційна джоулевій теплоті, яка виділяється на опорі R контуру.

У випадку малого опору, коли добротність буде

. (12)

Повний опір контуру (імпеданс) визначається так

. (13)