Контрольная работа

Логические операции

Краткая теория

В алгебре высказываний вводится пять операций над высказываниями: одноместная операция отрицания, и двуместная операция конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквивалентность. Определения этих операций проще всего представить в виде таблицы, где истина представляется значением 1, а ложь значением о.

Таблица логических операций

а	B
0	0	1	1	0	0	1	1
0	1	1	0	0	1	1	0
1	0	0	1	0	1	0	0
1	1	0	0	1	1	1	1

Иногда для упрощения записи скобки при образовании сложных высказываний опускают при этом порядок логических операций, определяется так: -, .

Равносильность формул

Две формулы f(x₁, x₂, …, x_n), g(x₁, x₂, …, x_n) называются равносильными (f(x₁, x₂, …, x_n) g(x₁, x₂, …, x_n)), если для любых конкретных высказываний x₁ = a₁, x₂ = a₂, …, x_n = a_n их значения совпадают. Очевидно если формулы f, g равносильны, то их таблицы истинности совпадают. Отсюда доказать равносильность двух формул можно, построив их таблицы истинности. Другой способ доказательства связан с использованием равносильных преобразований формул, основанных на лемме о замене: именно, если и h(x₁, x₂, …, x_i, …, x_n) – произвольная формула, то

h(x₁, x₂, …, f, …, x_n) h(x₁, x₂, …, g, …, x_n)

Конъюнктивная нормальная форма (к.Н.Ф.)

Теорема 1. Любая формула f (x₁, …, x_n) в алгебре высказываний имеет равносильную ей к.н.ф.

При преобразовании формулы f (x₁, …, x_n) в к.н.ф. используются в указанной очередности равносильности:

Теорема 2. Формула f является тавтологией тогда и только тогда, когда в её к.н.ф. в каждом дизъюнктивном одночлене какая-то переменная встречается вместе со своим отрицанием

Дизъюнктивная нормальная форма (д.Н.Ф.)

Теорема 3. Любая формула f(x₁, …, x_n) в алгебре высказываний имеет равносильную ей д.н.ф.

При преобразовании формулы f(x₁, …, x_n) в д.н.ф. используются в указанной очередности равносильности:

Пример выполнения задания1

Задание 1. Решить систему логических уравнений двумя способами

Вариант 0.

1-ый способ: Решаем первое уравнение системы. Отыскав все решения первого уравнения, выбираем из них те, которые удовлетворяют второму уравнению.

либо а = о, либо отсюда решениями первого уравнения будут

1. а = 0, в = 0, с = 0

2. а = 0, в = 0, с = 1

3. а = 0, в = 1, с = 0

4. а = 0, в = 1, с = 1

5. а = 1, в = 1, с = 1

Подставив найденные решения во второе уравнение, найдем решение системы

1. 0 0 0 = 1 ≠ 0

2. 0 0 1 = 0 = 0

3. 0 1 0 = 0 = 0

4. 0 1 1 = 1 ≠ 0

5. 1 1 1 = 1 ≠ 0

Таким образом решениями системы будут 2-е и 3-е решения первого уравнения, т.е.

1) а = 0, б = 0, с = 1

2) а = 0, б = 1, с = 0

2-ой способ. Строим таблицы истинности для левых частей первого и второго уравнений и подчеркиваем строки в которых их значения совпадают с соответствующими значениями первых частей уравнений.

			(1)		(2)
а	б	с	в с	а(1)	а в	(2) с
0	0	0	0	1	0	1
0	0	1	0	1	0	0
0	1	0	0	1	1	0
0	1	1	1	1	1	1
1	0	0	0	0	1	0
1	0	1	0	0	1	1
1	1	0	0	0	1	0
1	1	1	1	1	1	1

Решения: 1) а = 0, б = 0, с =1.

2) а = 0, в = 1, с = 0

Пример выполнения задания2

Задание 2. Доказать равносильность формул с помощью

а) таблиц истинности,

б) равносильных преобразований.

Вариант 0.

Решение:

1-ый способ: Строим таблицы истинности для формул f и g.

p	q	R
0	0	0	1	1	1	1	1
0	0	1	1	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1	1	1
0	1	1	1	1	0	0	0
1	0	0	0	1	1	0	0
1	0	1	0	1	1	0	0
1	1	0	1	0	1	0	0
1	1	1	1	0	1	0	0

Из построенных таблиц для f и g видно, что их значение для конкретных высказываний совпадают.

2-ой способ: Приведём формулу f равносильными преобразованиями к формуле g.

Преобразование 1 осуществляется с использованием равносильности . Преобразование 2 осуществляется с использованием дистрибутивности операции & относительно к двум первым скобкам.

Преобразование 3 осуществляется с использованием следующих равносильностей:

Преобразование 4 осуществляется с использованием дистрибутивности операции & относительно . Преобразование 5 осуществляется с использованием равносильностей в), г), использованных при преобразовании 3.

Пример выполнения задания3

Задание 3. Найдите конъюнктивную нормальную форму формулы F. Является ли формула F тавтологией?

Вариант 0.

Решение:

Последнее выражение является к.н.ф., так как представляет собой конъюнкцию дизъюнктивных одночленов Д₁ = , Д₂ = , Д₃ = z, Д₄ = . Очевидно формула f не является тавтологией, так как условие теоремы 2 не выполняется.

Пример выполнения задания 4

Задание 4. Найти д.н.ф. формулы f. Является ли формула f противоречием.

Вариант 0.

Решение:

Поскольку полученная формула является дизъюнкцией конъюнктивных одночленов, то это д.н.ф. Согласно теореме 2 она равносильна 0, т.е. является противоречием.