1.2. Системи числення спеціального призначення

Перевагою позиційних систем числення, спеціально створених для спрощення або прискорення обчислень на ЕОМ, є простота алгоритмів виконання деяких арифметичних операцій, а недоліком – необхідність переведення із класичних систем числення в спеціальні. Системи числення спеціального призначення застосовують для реалізації деяких обчислювальних процесів, в яких, наприклад, немає потреби змінювати систему числення при введені і виведенні даних.

Наприклад, позиційні системи числення з від’ємною основою дають можливість подати без знака будь-яке дійсне число, додатне або від’ємне. Однією із найбільш цікавих є урівноважена трійкова система числення, тобто система з основою 3 і цифрами: –1, 0, +1 ( –1 часто позначають як ). Приклади запису чисел в цій системі:

;

;

.

Переваги урівноваженої трійкової системи:

1. знак числа задається найбільш значущою (старшою) ненульовою цифрою;

2. перехід до числа з протилежним знаком здійснюється заміною всіх 1 на і навпаки;

3. операція округлення до найближчого цілого зводиться до відкидання дробової частини.

Знаходження суми в цій системі числення дуже просте, якщо врахувати, що . Віднімання зводиться до переходу до числа, протилежного за знаком, з наступним додаванням. Правила множення на 1 звичайні, а при множенні на знак часткового добутку змінюється на протилежний.

Приклад. Перемножити числа і , заданих в урівноваженій трійковій системі числення:

1.3. Символічні системи числення

Як відомо, позиційні системи числення мають чіткі міжрозрядні зв’язки. Цю їх властивість можна вважати як перевагу, так як це забезпечує простоту виконання арифметичних операцій, і разом з тим як недолік, оскільки ця властивість із-за наявності міжрозрядних переносів призводить до обмеження технічної швидкості виконання арифметичних операцій. Тому розробка непозиційних систем числення, в яких відсутні міжрозрядні зв’язки і просто здійснюються арифметичні операції, дали би можливість підвищити швидкість виконання останніх.

В символічних системах, на відміну від позиційних, цифри є символами, кожний із яких окремо жодним чином не характеризує яке-небудь число. Певним комбінаціям цифр умовно поставлені у відповідність певні числа. Прикладом символічної системи числення є система подання чисел через залишки або система залишкових класів (СЗК).

Якщо цілим числам А і В відповідає один і той же залишок ділення на третє число S, то числа А і В називаються рівними за , що виражається записом . Число в СЗК зображається у вигляді залишків від ділення заданого числа на ряд взаємно простих чисел . При цьому утворюється число із вагами розрядів, відповідно рівними , тобто , де і , де – ціла частина х. Таким чином .

В табл. 1.8 наведено трирозрядні числа для перших п’ятнадцяти десяткових чисел, які подано в СЗК з вагами розрядів, які відповідно дорівнюють .

Таблиця 1.8

Десяткова		СЗК		Десяткова		СЗК
система	a1	a2	a3	система	a1	a2	a3
0	0	0	0	8	0	2	3
1	1	1	1	9	1	0	4
2	0	2	2	10	0	1	0
3	1	0	3	11	1	2	1
4	0	1	4	12	0	0	2
5	1	2	0	13	1	1	3
6	0	0	1	14	0	2	4
7	1	1	2	15	1	0	0

У СЗК операції додавання, віднімання та множення є порозрядними, що, без сумніву, є перевагою СЗК.

СЗК застосовується у спеціалізованих ЕОМ, в яких діапазон вихідних чисел і проміжні результати строго фіксовані і операція ділення практично відсутня.