Примеры решения задач по теме: «Энергетические показатели выпрямителей»

Задача 5-1. В схеме рис. 5-2 дано: U₁=100 B, R_d=10 Ом, X_а=1 Ом, X_d= ∞, α=30º. Вычислить полный коэффициент мощности.

Р ешение:

Как известно, полный коэффициент мощности выпрямителя определяется по выражению (5-4):

χ = cosφνK_H .

Т ак как рассматриваемая схема относится к однофазным выпрямителям, то в приведенном выражении коэффициент несимметрии К_Н=1. Определение двух других составляющих полного коэффициента мощности проведем с помощью рисунка 5-3.

На рис. 5-3, а изображены ЭДС е_2а и e_2b вторичной обмотки трансформатора и кривая выпрямленного напряжения U_d при угле α=30º. Так как X_d=∞, то выпрямленный ток идеально сглажен (рис. 5-3, б). Ток в первичной обмотке трансформатора имеет вид, показанный на рис. 5-3, в, в предположении, что на коммутационных интервалах γ он изменяется линейно (хотя, как известно, на этих интервалах ток i₁ изменяется по косинусоидальному закону). Первая гармоника этого тока, показанная пунктиром, сдвинута относительно напряжения U₁ на угол φ = α + γ /2.

Чтобы определить угол φ, надо вычислить угол γ; для нахождения угла γ нужно знать постоянную составляющую тока нагрузки I_d. I_d находим из выражения:

I_dR_d = E_{α max} – ΔU_x = 0,9E₂cos α – I_dX_a/π, (5-13)

где - накопленное значение выпрямленного напряжения при угле управления α;

0,9 — коэффициент схемы выпрямления;

ΔU_x = I_dX_a/π — коммутационное падение напряжения.

Выражение (5-13) в данном случае используется потому, что при X_d=∞ имеет место режим непрерывного тока. Из (5-13) находим I_d:

I_d(R_d + X_a/π) = 0,9E₂cos α;

.

Теперь находим угол γ из выражения (4-10):

Следовательно,

cos φ =cos (α + γ/2) = cos (30 + 6/2) = 0,8386.

Коэффициент искажения ν в выражении (5-4) находится следующим образом:

,

где I₁₍₁₎ — действующее значение первой гармоники первичного тока;

I₁ — действующее значение первичного тока.

Действующее значение первичного тока находим из выражения:

,

где первичное слагаемое под корнем представляет собой ту составляющую действующего значения тока, которая определяется фронтами нарастания и спадания первичного тока на интервалах коммутации при допущении линейности его функции. Таких фронтов, как видно из рис. 5-3, в - четыре на протяжении всего периода. Второе слагаемое под корнем представляет собой другую составляющую, определяемую значением первичного тока на внекоммутационных интервалах, равным I_d/k_тр, где k_тр= U₁/E₂ =220/100 =2,2 - коэффициент трансформации силового трансформатора.

Таких внекоммутационных интервалов, как видно из рис. 5-3, в - два.

Вычисляя подкоренное выражение, получим:

.

Для определения действующего значения первой гармоники первичного тока разложим функцию i₁ (рис. 5-3, в) в ряд Фурье. Как следует из таблицы 2 Приложения, это разложение имеет вид:

(5-14)

Первая гармоника этого тока:

(5-15)

Амплитуда первой гармоники:

,А.

Действующее значение первой гармоники:

,А.

Следовательно, коэффициент искажения:

,

а полный коэффициент мощности:

χ = cos φ  ν = 0,83860,916 = 0.768.

Задача 5-2. В условии предыдущей задачи 5-1 в цепь нагрузки включен нулевой вентиль В₀. Сравнить коэффициенты мощности выпрямителя при наличии и при отсутствии В₀.

Решение:

К ак уже было отмечено выше, наличие нулевого вентиля приводит к тому, что на интервалах (0 ÷ α), [π ÷ (π + α)], [2π ÷ (2π + α)] и т.д. ток нагрузки будет протекать под действием ЭДС самоиндукции на сглаживающем дросселе L_d, через нулевой вентиль В₀, минуя вторичную обмотку трансформатора (рис. 5-4). В результате этого в кривой выпрямленного напряжения будут отсутствовать интервалы с отрицательными значениями U_d, а ток нагрузки будет складываться не только из токов тиристоров Т₁ и Т₂, но и нулевого вентиля (рис. 5-5, б). Кривая первичного тока i₁ построена на рис. 5-5, в, из условия равенства намагничивающих сил вторичной и первичной обмоток трансформатора. Подход к решению этой задачи такой же, как и в предыдущей.

Вначале находим постоянную составляющую выпрямленного тока I_d из выражения:

. (5-16)

В этом выражении , в отличие от (5-13) в предыдущей задаче, так как при наличии нулевого вентиля постоянная составляющая выпрямленного напряжения определяется так же, как и в случае чисто активной нагрузки. Из (5-16) находим , откуда

.

Для нахождения углов коммутации необходимо учесть, что коммутация, начинающаяся в точке θ = 0 с вентиля Т₂ на вентиль В₀ происходит точно в токе естественной коммутации и поэтому угол коммутации определяется по формуле:

Коммутация, начинающаяся в точке с нулевого вентиля на тиристор Т₁ происходит со сдвигом относительно точки естественной коммутации на угол α - угол управления. Поэтому длительность коммутационного интервала в этом случае находим из выражения:

Первая гармоника первичного тока , как следует из рис. 5-5, в, будет сдвинута относительно напряжения U₁ в первичной обложке трансформатора на угол . Отсюда находим

.

Коэффициент искажения ν находим так же, как и в предыдущей задаче:

где I₁₍₁₎ - действующее значение первой гармоники первичного тока;

I₁ - действующее значение первичного тока.

Здесь .

Для нахождения первой гармоники первичного тока необходимо разложить эту функцию в ряд Фурье. Поскольку из-за неравенства и сделать это затруднительно, то реальную функцию тока i₁, представляющую собой неравнобокие трапеции, заменим равновеликими по площади прямоугольниками так, как показано на рис 5-6.

Длительность интервалов протекания тока i₁ на рис 5-6, б находим так:

.

Относительное значение длительности этих интервалов:

Далее раскладываем функцию i₁ на рис. 5-6, б с использованием таблицы 2 Приложения:

(5-17)

П ервая гармоника этого тока

(5-18)

Амплитуда первой гармоники

Действующее значение первой гармоники

.

Отсюда находим коэффициент искажения:

.

Полный коэффициент мощности

.

Сравнение этих результатов с результатами предыдущей задачи дает основание сделать вывод о заметном улучшении полного коэффициента мощности в основном за счет более высокого значения в схеме с нулевым вентилем на 14,3%.

З адача 5-3. В схеме рис. 5-7 дано: ; ; .

Определить составляющие полной мощности S: P, Q, T. Возможной несимметрией в схеме пренебречь.

Решение:

Д иаграммы, иллюстрирующие работу схемы, представлены на рис 5-8. На рис. 5-8, а представлены фазные эдс вторичных обмоток силового трансформатора; на рис. 5-8, б представлены линейные ЭДС этих же обмоток и мгновенное значение выпрямленного напряжения U_d при угле управления На диаграмме рис. 5-8, в представлен ток нагрузки i_d, протекающей по вентилям катодной группы (условно откладывается выше оси абсцисс) и по вентилям анодной группы (условно отложен ниже оси абсцисс). Поскольку то ток нагрузки идеально сглажен и содержит только постоянную составляющую: а так как индуктивное сопротивление рассеяния обмоток сплавного трансформатора то процесс коммутации вентилей будет происходить не мгновенно, а в течение коммутационного интервала

На рис 5-8, г представлен ток вторичной обмотки трансформатора фазы В - i_2в. Этот ток представляет собой сумму анодных токов вентилей i_а3 и i_а6, соединенных с этой фазой.

Первичный ток фазы В - I_ав построен на рис 5-8, д и представляет собой зеркальное отображение кривой тока i_2в, но с амплитудой, отличающейся в К_ТР раз, где

.

Решение задачи начнем с определения постоянной составляющей тока нагрузки I_d из выражения:

Угол коммутации находим из выражения:

Действующее значение первичного тока:

Для разложения функции первичного тока в ряд Фурье заменим реальную кривую тока i₁, имеющую форму равнобокой трапеции, на эквивалентный по площади прямоугольник (рис 5-8, е). Длительность проводящего состояния вентилей в этой кривой равна поэтому коэффициент - относительная длительность проводящего состояния вентилей. Пользуясь таблицей … Приложения получаем:

,

откуда находим I_1(1)m - амплитуду первой гармоники первичного тока:

.

Действующее значение первой гармоники

Коэффициент искажения

Угол сдвига первой гармоники первичного тока относительно напряжения питающей сети находим через угол управления и угол коммутации (рис 5-8, д):

Следовательно:

Полная мощность, потребляемая выпрямителем из питающей сети:

Активная составляющая потребляемой из сети мощности:

.

Реактивная составляющая потребляемой мощности:

.

Мощность искажения определяется по выражению (5-10):

,

где = arсcos = 12,5⁰ = 0,218,рад.

Тогда

Проверка дает:

З адача 5-4. В схеме рис. 5-9 дано: U₁ = 220,В; = 100,В;

R_d = 10,Ом; Х_d = ; Е_d = 120,В.

Определить угол управления тиристорами ; вычислить полный коэффициент мощности и составляющие полной мощности. Сравнить эти показатели с тем случаем если бы в схеме отсутствовали неуправляемые вентили В₁ и В₂.

Решение:

Диаграммы, поясняющие работу схемы, изображены на рис. 5-10. На рис 5-10, а представлена кривая выпрямленного напряжения U_d. Угол управления находим из выражения (4-40) точно так же, как в задаче 4-11.

Угол находится из этого выражения:

Поскольку то так нагрузки будет идеально сглажен (рис 5-10, б). Постоянная составляющая тока нагрузки:

Мгновенное значение первичного тока i₁ изменяется в соответствии с диаграммой рис. 5-10, в.

На интервале от 0 до величина этого тока должна быть такой, чтобы его намагничивающая сила компенсировала намагничивающую силу тока I_d, протекающего по одной секции вторичной обмотки трансформатора. Т.е. на этом интервале

где .

На интервале от до первичного тока должна компенсировать намагничивающую силу тока I_d, протекающего уже по двум секциям вторичной обмотки трансформатора. Поэтому

где .

Действующее значение этого тока:

Для разложения функции тока i₁ в ряд Фурье воспользуемся методом наложения. В начале разложим в ряд ток i₁ на интервалах от 0 до и от до , затем на интервалах от до и от до .(рис. 5-11).

Р аскладывая функцию (рис 5-11, б) в ряд Фурье с использованием таблицы №X Приложения, получаем:

где - относительная длительность проводящего состояния вентиля В₁.

В разложении функции в ряд Фурье начало координат совмещено с точкой Первая гармоника этого тока

. (5-19)

Аналогично, раскрывая в ряд Фурье функцию тока (рис 5-11, в), получаем:

где - относительность проводящего состояния тиристора Т₁.

В разложении этой функции в ряд Фурье начало координат совмещено с точкой Первая гармоника этого тока:

. (5-20)

Суммируя (5-19) и (5-20) с учетом разности их фаз получаем:

(5-21)

где .

. (5-22)

Как видно из (5-22) первая гармоника тока i₁₍₁₎ имеет амплитуду:

Действующее значение первой гармоники первичного тока:

Фаза этой гармоники отстает от фазы на угол 55⁰, т.е. по отношению к напряжению на первичной обмотке трансформатора она отстает на угол

Следовательно, Коэффициент искажения нашего выпрямителя

Полный коэффициент мощности

Полная мощность, потребляемая выпрямителем из питающей сети:

Активная мощность составляет

Реактивная составляющая мощности

Мощность искажения находим по выражению (5-10):

где

Проверка дает:

Погрешность вычислений составила доли процента.

Приступаем к решению второй части задачи. Если бы в схеме выпрямителя отсутствовали бы неуправляемые вентили В₁ и В₂, то он представлял бы собой обычный двухполупериодный выпрямитель со средней точной. Тогда его работа будет иллюстрироваться диаграммами на рис 5-12. Так как , то так нагрузки i_d будет идеально сглажен, а постоянная составляющая выпрямительного напряжения E_d определяется по формуле для режима непрерывного тока:

Отсюда находим требуемую величину угла управления :

.

Поскольку индуктивное сопротивление рассеяние обмоток трансформатора Х_а = 0, то коммутация вентилей происходит и поэтому:

Первичный ток i₁ изменяется в соответствии с диаграммой на рис 5-12, в. Поскольку ток i_d = I_d протекает в нашей схеме все время по двум секциям вторичной обмотки трансформатора под действием ЭДС ( и ), то коэффициент трансформации будет:

.

Действующее значение первичного тока:

Полная мощность, потребляемая выпрямителем из сети:

Разложение в ряд Фурье функции i₁ дает:

.

Первая гармоника этого тока:

.

Действующее значение первой гармоники:

.

Фазовый сдвиг первой гармоники относительно напряжения питающей сети, как следует из рис 5-12, в:

Коэффициент искажения

.

А полный коэффициент мощности:

.

Активная составляющая полной мощности:

Реактивная составляющая полной мощности:

Q =U₁I₁₍₁₎ sin = 2209,81 sin48 = 1604.557,ВА.

Мощности искажения находим по выражению (5-10):

,

где

Проверка:

Погрешность вычислений составила доли процента.

Сравнение результатов расчетов показывает, что схема выпрямителя со ступенчатым регулированием выпрямленного напряжения имеет существенное преимущество по энергетическим показателям, в основном, за счет более высокого значения коэффициента сдвига cos (0,941 против 0,669) и, следовательно, более высокого значения полного коэффициента мощности (0,813 против 0,602).