§3. Неявные определения

В науке и в юридической практике иногда используются определения, не имеющие вид равенства АВ, то есть не относящиеся к явным определениям.

Такого рода определения называются неявными и задаются лингвистической конструкцией вида:

[ А есть то, что удовлетворяет пунктам] в1, в2, …, Вn.

Собственно определение здесь сводится к пунктам В₁, В₂, …, В_n, а предшествующая фраза в квадратных скобках чаще всего подразумевается неявно. В зависимости от того, что представляют собой сами пункты В₁, В₂, …, В_n, такие определения делятся на три вида: индуктивные, рекурсивные и аксиоматические.

Индуктивные определения задают класс предметов А путем указания некоторого его подкласса (базис индукции) и тех процедур, при помощи которых порождаются все остальные предметы этого класса (индуктивный шаг).

Приведем пример индуктивного определения – определение натурального числа.

1. 0 есть натуральное число. Базис индукции

2. Если х – натуральное число, Индуктивный шаг

то х’ – натуральное число.

3. Ничто иное не является Ограничительное условие

натуральным числом.

Первый пункт определения представляет собой базис индукции: 0 объявляется первым натуральным числом. После этого все остальные натуральные числа порождаются с помощью одной-единственной процедуры – функции «следовать за», обозначенной как штрих. Это индуктивный шаг. Таким образом, в класс натуральных чисел попадают все целые числа, которые больше нуля.

Другой пример индуктивного определения: определение обоснованности решения суда в системе прецедентного права.

1. Решения a₁, a₂, … a_n считаются обоснованными сами по себе (прецеденты).

2. Если а_i – обоснованное решение, и х  а_i, то х также является обоснованным решением.

3. Ничто другое не является обоснованным решением.

Здесь знак «» обозначает отношение формального подобия. Если некоторое дело подобно другому, уже встречавшемуся ранее, его правовая оценка не должна отличаться от оценки, вынесенной по предыдущему делу. Как видно из данного определения, система прецедентного права допускает пополнение двумя способами: путем использования индуктивного шага (то есть сведения новых случаев к старым) и путем расширения базиса индукции (то есть создания новых прецедентов).

Рекурсивные определения задают функцию  путем указания ее значений для некоторых исходных аргументов (базис рекурсии) и способов определения всех остальных значений , зная исходные (рекурсия).

Приведем пример рекурсивного определения сложения:

1. х + 0 = х.

2. х + у’ = (х + у)’.

Первый пункт определения (базис рекурсии) утверждает, что значение функции х + у равно х, в том случае, если у = 0. Второй пункт (рекурсия) говорит, что если мы хотим вычислить значение х + у’, где у’ – число, следующее за у, то надо вычислить для этого у, чему равно х + у, и взять следующее за х + у число.

Аксиоматические определения разъясняют значение некоторого термина путем указания той совокупности аксиом, в которой он содержится.

Обычно мы идем противоположным путем: зная значение терминов, входящих в высказывание, мы затем решаем вопрос о его истинности или ложности. Но поскольку аксиомы уже заранее считаются истинными утверждениями, каждый входящий в них термин косвенным образом получает определенный смысл и значение. Например, считается, что аксиомы Евклида неявно определяют термины «точка», «прямая», «плоскость», а аксиомы классической логики высказываний неявно определяют понятия отрицания, импликации, конъюнкции, дизъюнкции и т.д.

У пражнение 3. Постройте несколько неявных определений, а именно:

а) индуктивное определение термина «предок».

б) индуктивное определение термина «круглая годовщина».

в) рекурсивное определение операции умножения.

г) рекурсивное определение операции возведения в квадрат.