4.3.2 Сложные реологические модели

Некоторым материалам свойственно такое реологическое состояние, которое невозможно описать ни одной из основных моделей; поэтому были созданы более сложные модели с двумя или несколькими реологическими постоянными. Их создание возможно за счет сочетания простых моделей или за счет интегрирования, предусматривающего энергетические соотношения между напряжениями, деформациями и временем.

Наиболее распространены две вязко-упругие модели и одна вязко-пластичная (рисунок 4.9).

Вязко-упругое тело Кельвина или Фойхта допускает, что полное напряжение складывается из двух составляющих: одна создает линейные упругие деформации, а другая — вязкие деформации, задерживающие развитие первых;

τ=τ_е + τ_v =Gγ+ηγ (4.16)

Модель характеризуется двумя реологическими константами: G и η. Она представляет комбинацию моделей Гука и Ньютона, а иллюстрируется параллельным соединением пружины и амортизатора (рисунок 4.9, а).

Рисунок 4.9 – Механические аналоги сложных моделей: а – твердое тело кельвина-Фойхта; б – жидкость Максвелла; вязко-пластичное тело Бингама

Если проинтегрировать уравнение (4.16), то при γ=0, τ =0 и τ =τ₀ const (рисунок 4.10) получим

(4.17)

где t_o=η/G — время ретардации (задержки). Упругость проявляется в этом случае не сразу, а с некоторой задержкой во времени. Деформация растет непрерывно при постоянном напряжении; это явление известно под названием ползучести.

При снятии напряжения деформация исчезает не мгновенно, а медленно уменьшается в соответствии с формулой

(4.18)

где γ₀ — деформация в момент снятия напряжения.

Следовательно, модель Кельвина - Фойхта представляет твердое тело с запаздывающей упругостью. Она может использоваться для описания поведения отдельных полимеров, горных пород, а также для описания текучести бетонов, некоторых растворов, металлов и т. д.

Рисунок 4.10 – Упругость твердого тела Кельвина - Фойхта

Вязкоупругая жидкость Максвелла характеризуется следующим реологическим уравнением:

γ = γ_e+γ_v = τ/G + τ/η (4.19)

Скорость деформации имеет две составляющие: упругую γ_е и вязкую γ_v.

Механическим аналогом уравнения (4.19) является устройство, состоящее из последовательно соединенных пружины и амортизатора (см. рисунок 4.9, б), т. е. модель Максвелла — это комбинация моделей Гука и Ньютона.

При помощи уравнения Максвелла можно описать как процесс текучести, так и релаксацию напряжений. Если напряжение поддерживать постоянным и равным τ₀, то из уравнения (4.19) следует постоянство скорости деформации, что означает вязкое течение, аналогичное течению ньютоновской жидкости:

(4.20)

где γ_o — начальная деформация.

Если предположить, что при воздействии напряжения т₀ в теле возникает мгновенная упругая деформация γ₀ =τ₀/G равнение (4.20) примет вид

(4.21)

Кривая текучести в данном случае есть прямая с углом наклона τ₀/η (рисунок 4.11). Если на материал в момент времени τ=0 воздействует напряжение τ₀, то при постоянстве деформации γ=γ₀ из уравнения (4.19) следует, что

(4.22)

где τ₀=η/G — время релаксации.

Рисунок 4.11 – Текучесть жидкости Максвелла

Напряжение в этом случае уменьшается во времени и стремится к нулю при t = t_Q (рисунок 4.12).

Таким образом, модель Максвелла характеризует жидкость, обладающую определенной упругостью. Ее можно использовать для описания «поведения» смолы, расплавленного стекла, полимерных растворов, теста, пластических масс и т. д.

Рисунок 4.12- Релаксация напряжений в жидкости Максвелла

Вязкопластическая модель Бингама описывает вещества, которые при напряжениях ниже критического значения τ₀, названного предельным напряжением сдвига или динамическим напряжением сдвига, не деформируются, а при больших напряжениях текут подобно вязким жидкостям (рисунок 4.13). Реологические уравнения при этом имеют вид:

γ=0, если τ≤τ₀ (твердое состояние)

τ=τ_р+ τ_v= τ₀+ η_р γ, если τ>τ₀ (вязкопластичное состояние) (4.23)

Рисунок 4.13 – Кривая течения вязко-пластичного тела Бингама

У этой модели два реологических параметра: τ₀ и η, ее можно проиллюстрировать параллельным соединением пружины и ползуна с сухим трением (рисунок 4.9, в),

Параметр η_р назван пластической (структурной) вязкостью. Таким образом, Бингам признал за некоторыми жидкостями пластические свойства *.

Жидкость, соответствующую модели Бингама, можно рас­сматривать как ньютоновскую среду с переменной вязкостью. Если сравнить закон Ньютона [см. уравнение (4.15)] со вторым уравнением (4.23), получим

η_а=τ/γ=η_р+τ₀/γ (4.24)

где η_а — кажущаяся вязкость, зависящая от скорости деформации γ.

Все жидкости, не подчиняющиеся закону Ньютона, т. е. не обладающие постоянной вязкостью, называются неньютоновскими.

К жидкостям, поведение которых можно описать при помощи модели Бингама, относятся суспензии (в эту категорию входит большинство буровых и тампонажных растворов), масляные краски, некоторые смазки, фармацевтические препараты, пищевые продукты и т. д.

Путем сочетания трех основных моделей были предложены многочисленные комплексные модели, которые используются в различных разделах реологии.

___________

* Ранее к аналогичному выводу пришел Ф. Н. Шведов, поэтому в советской литературе эта модель получила название модели Шведова — Бингама

Из моделей, полученных экспериментальным или полуэмпирическим путем, буровиков интересуют только те, которые применимы для жидкостей, обладающих неньютоновским поведением, т. е. подчиняющихся уравнению

τ=η∙γ (4.25)

- с переменной вязкостью η (рисунок 4.14 и 4.15).

Рисунок 4.14 - Кривые течения «чисто» вязких жидкостей: 1 - упругое твердое тело; 2 - бингамовская жидкость; 3 - псевдопластичная жидкость; 4 - ньютоновская жидкость; жидкость; 5 - дилатантная жидкость; 6 - идеальная жидкость; 7 - вязкопластичные жидкости; 8 - жидкости без предельного напряжения сдвига

Рисунок 4.15 - Вязкость «чисто» вязких жидкостей: 1 - псевдопластичная жидкость; 2 – дилатантная жидкость; 3 - ньютоновская жидкость; 4 – бингамовская жидкость

Как правило, вязкость уменьшается с увеличением напряжения или скорости деформации, вещества разжижаются, становятся более подвижными. Это объясняется выравниванием, ориентированием взвешенных несимметричных твердых частиц суспензий или развертыванием цепей полимеров таким образом, что течению оказывается минимальное сопротивление. Среды, для которых характерны кривые течения, проходящие через начало координат, называются псевдопластичными.

Реже встречаются жидкости, вязкость которых увеличивается с повышением скорости деформации. Это объясняется разрушением агрегатов твердых частиц, ориентация которых в состоянии покоя направлена на уменьшение пустот между ними, а также увеличением «пористости» суспензии; часть жидкости перемещается в образовавшиеся пустоты и между частицами начинает проявляться так называемое сухое трение, смазка оказывается недостаточной и трение увеличивается. Такой процесс наблюдается в системах с высокой концентрацией твердой фазы и в грубых дисперсиях: водных суспензиях с высокой концентрацией песка, барита, малоколлоидной глины, слюды, металлических окислов и др. Эти материалы и вещества называются дилатантными.

Некоторые смолы и полимеры (например, полихлорвинил) проявляют псевдопластичное поведение при низких скоростях деформации и дилатантное при более высоких скоростях сдвига.

Промывочные жидкости, которые содержат только полимеры или полимеры с небольшой долей мельчайших частиц твердой фазы, при высоких скоростях сдвига ведут себя так, как будто обладают предельным динамическим напряжением сдвига, но на самом деле график их консистенции проходит через начало координат.

Для описания течения жидкостей, не обладающих пластическими свойствами (предельное напряжение τ₀ = 0), чаще всего пользуются моделью Оствальда - де Ваале (степенной закон) с двумя реологиче­скими параметрами

(4.26)

где К и п — экспериментальные константы: К — индекс консистенции; п — показатель поведения.

Из сопоставления уравнения (4.26) с законом Ньютона получим значение кажущейся вязкости в виде

(4.27)

Можно видеть, что при n = 1 уравнение (4.26) приводится к обычной форме закона Ньютона, при этом η= К; отклонение показателя n от единицы указывает на степень ненъютоновского поведения жидкости.

При n<1 жидкость является псевдопластичной, а при n>1 — дилатантной.

Уравнение (4.26) описывает экспериментальные кривые течения большинства неньютоновских непластичных жидкостей в диапазоне умеренных скоростей деформации. При очень низких или очень высоких значениях скоростей деформации кривые течения могут быть линеаризованы и представлены обычным уравнением закона Ньютона*.

То обстоятельство, что графики консистенции глинистых промывочных жидкостей пересекают ось напряжений в точках, не соответствующих нулю, указывает на образование в них гелей. Возникновение таких структур объясняется тенденцией пластинок глины выстраиваться таким образом, чтобы положительно заряженные ребра примыкали к отрицательно заряженным базальным поверхностям. Это взаимодействие между зарядами на пластинках способствует увеличению эффективной вязкости при низких скоростях сдвига, оказывая тем самым влияние на значения параметров п и К.

При помощи модели Оствальда - де Ваале можно описать поведение некоторых эмульсий, паст, продуктов питания, фармацевтических и биологических препаратов, мыльных составов, жиров, клеящих веществ, красок, резиновых смесей, полимерных растворов, буровых и тампонажных цементных растворов с различными добавками.

Из более сложных моделей (с тремя параметрами) следует отметить модель Бриана:

(4.28)

_____

* При скоростях сдвига, близких к нулю, для жидкостей с n<1, согласно уравнению (4.27), получаем бесконечно большое значение кажущейся вязкости, что является неправдоподобным.

где — «вязкость при бесконечной скорости сдвига», характеризующая наклон линейного отрезка кривой течения к оси абсцисс при очень высоких скоростях сдвига; — константа, определяемая ординатой точки пересечения указанного линейного отрезка с осью напряжений; т — безразмерная константа.

Уравнение (4.28) было предложено Брианом в 1956 г. для смазок, однако М. Мартин использовал его и для буровых растворов. Из уравнения (4.28) можно получить уравнения Ньютона (m = 0 и τ_∞/m <∞), Оствальда — де Ваале (γ→0) или Бингама (m= 1 или γ→∞).

Модель Гершеля — Балкли (также трехпараметриче-ская) получена сочетанием вязкопластичной модели с моделью Оствальда-де Ваале:

(4.29)

Она была использована для описания поведения некоторых буровых растворов с низким содержанием твердой фазы, обработанных полимерными реагентами.