48. Понятие числового множества.

Числовое множество – совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Эти объекты – элементы множеств.

Обозначаются ч/з X,Y,Z.

Множества, элементы которых числа – числовые множества.

N – натуральные

Z – целые

Q – рациональные

R – действительные

49. Понятие функции. Область определения и множество значений ф-ии.

Пусть даны два множества. Если каждому элементу х принадлежащему множеству Х ставится в соответствии определенное значение у принадлежащее У, то это соответствие называется функцией.

Y = f (x)

Тогда Х – область определения функции. D(f), D(y)

Множеством значений (область значений) функции на заданной области определения Х, называется множество всех таких элементов у, для которых существует элемент.

Y – область значений . E(f), E(y)

Функция, у которой все значения равны м/у собой – постоянная.

50. Монотонные ф-ии.

Функция возрастающая, если для любого х₁ и х₂ таких, что х₁ < х₂ , f(x₁) < f(x₂)

Функция убывающая, если для любого х₁ и х₂ таких, что х₁ < х₂ , f(x₁) > f(x₂)

Все убывающие и возрастающий ф-ии называются монотонными.

51. Ограниченные ф-ии.

Функция ограниченная сверху, если существует число М такое, что f (x) ≤М

Ф-ия ограниченная снизу, если существует М такое, что f (x) ≥М

Ф-ия просто ограниченная, если существует число М такое, что |f(x)|<M

52. Четность, нечетность ф-ии.

Функция четная, если f(-x)=f(x). График четной ф-ии симметричен относительно оси оу.

Ф-ия нечетная, если f(-x)=-f(x). График нечетной ф-ии симметричен относительно начала координат.

Ф-ия ни четная, ни нечетная, если f(-x) не равна f(x) и f(-x) не равна –f(x).

53 – 54. Способы задания ф-ии.

• Аналитический: функция задается в виде одной или нескольких формул.

Y=f(x) – явный вид.

F(x,y) – неявный вид.

Параметрический вид:

*X=ϕ(t) x= cos² t

Y = ϕ(t) y=2sin t

• Табличный вид: ф-ия задается в виде таблицы, в которой ряду заранее выбранных значений х поставлены в соответствие значений у.

• Графический вид: ф-ия задается при помощи самопишущих машин.

55. Обратная ф-ия.

Дано y=f(x); D(f) – X; E(f) – Y.

Если каждому значению у принадлежащему У ставится в соответствие единственное определенное значение х принадлежащего Х, то говорят, что задана x=ϕ(y) ; D(ϕ) – Y; E(ϕ) – X.

Ф-ии y=f(x) , x = ϕ(y) – взаимообратные.

56. Сложная ф-ия.

Дано y=f(x); D(f) – X; E(f) – Y. Кроме того дана Z=ϕ(y), тогда D(Z) – y; E(Z) – Z.

Z = ϕ(y) = ϕ(f(x))

↓ ↓

Слож.ф-ия Суперпозиция

В этом случае, каждому значению х принадлежащему Х будет ставиться в соответствие единственное определенное значение z принадлежащего Z.

D(Z) – Х; E(Z) – Z.

Это наз. Суперпозицией ф-ии. В результате получаем сложную ф-ию.

57. Понятие бесконечной последовательности.

Числовая последовательность – числовая ф-ия, область определения которой все множество натуральных чисел.

a_i - член последовательности.

Последовательность бесконечная, если за каждым членом a_n существует член a_n+1

Задать последовательность можно указав формулу, которая позволяет найти член последовательности по его номеру n.

a_n = f(n) - общий член последовательности.

Т.к. последовательность – ф-ия, то для нее можно определить понятие ограниченности, монотонности возрастания и убывания.

Вместо графика для последовательности удобно располагать ее члены на числовой оси.