Федеральное агентство по образованию Российской Федерации
Филиал «СЕВМАШВТУЗ» государственного образовательного
учреждения высшего профессионального образования «Санкт-
Петербургский государственный морской технический
университет» в г. Северодвинске
Курзанова Е.В.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по динамике материальной точки
Северодвинск
2008
УДК 531
Теоретическая механика. Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по динамике «Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил» /Сост. Е.В.Курзанова
Северодвинск: РИО Севмашвтуза, 2008 - с.
Методические указания предназначены для студентов всех специальностей, изучающих курс «Теоретическая механика».
Методические указания по теоретической механике, раздел «Динамика», разработаны для выполнения расчетно-графической работы по теме: «Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил». Указания содержат план решения расчетно-графической работы, расчетные схемы, варианты заданий, пример решения.
Рецензенты:
доцент кафедры № 3, к.т.н. Д.В.Кузьмин,
ст. преподаватель кафедры № 3 Л.А.Ковалев.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Севмашвтуза.
© Севмашвтуз, 2008
Содержание
Предисловие…………………………………………………………………….4
1. Задание……………………..………………………………………………….5
2. План выполнения работы……………………………………………….…5
3. Расчетные схемы и варианты задания…………………………..……….7
4. Примеры выполнения работы……………………………………………..11
5. Вопросы для защиты расчетно-графической работы…….…………….22
6. Список литературы……………………………………………………….…23
ПРЕДИСЛОВИЕ
Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по динамике материальной точки содержат план выполнения работы, расчетные схемы и варианты заданий, примеры решения, вопросы для защиты.
Целью методических указаний является оказание помощи студентам при решении работы и проверка качества знаний при защите работы.
1. Задание.
Необходимо найти неизвестные с помощью интегрирования дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил.
2. План выполнения работы.
2.1. Записать исходные данные (выбрать согласно порядковому номеру в журнале).
2.2. Вычертить расчетную схему. Формой и размерами движущегося тела можно пренебречь, приняв его за материальную точку.
2.3. Изобразить действующие на материальную
точку активные силы – силу тяжести
;
силу
,
если она дана; силы реакции связей (сила
- нормальная реакция опорной поверхности,
сила трения
,
направленная в сторону, противоположную
движению).
2.4. Разделить задачу на две части:
движение точки в системе координат
, время движения по участку
обозначается
;движение точки в системе координат
, время движения в данной системе
обозначается Т (движение из точки В в
точку С).
2.5. Записать второй основной закон
Ньютона в векторной форме:
или
Затем спроецировать на координатные оси.
В осях y1Ax1 уравнений будет два
Произведение массы на вторую производную от расстояния по времени (ускорение) равно сумме проекций всех действующих сил на соответствующую координатную ось.
Из уравнения (2) следует найти N
– нормальную реакцию опорной поверхности.
Так как
,
это значит, что сумма проекций всех
действующих сил на ось Ay1
равна 0 (условие равновесия).
В случае движения по горизонтальной
поверхности получится
.
В случае движения по наклонной поверхности
получится
,
где
- угол наклона поверхности.
Исходных уравнений будет четыре:
(1)
(2)
(3) на ось Вх
(4) на ось Ву
2.6. Каждое из исходных уравнений необходимо разделить на массу (левую и правую часть). Дифференциальные уравнения необходимо дополнить начальными условиями и свести задачу динамики к решению математической задачи (к задаче Коши).
2.7. а) Рассмотрим движение точки на
участке АВ. Записываем дифференциальные
уравнения (1) и (2) и начальные условия.
Получаем математическую задачу.
Интегрируем дифференциальные уравнения
и определяем константы интегрирования.
Получаем выражение для скорости
и расстояние
б) Подставляем
и получаем 2 алгебраических уравнения.
Эти уравнения позволяют найти две
неизвестные.
в) Рассматриваем движение на участке
ВС. Записываем дифференциальные
уравнения (3) и (4) и начальные условия,
интегрируем и получаем выражения для
скорости
и
;
и расстояния
и
.
г) Подставляем
и получаем четыре алгебраических
уравнения для нахождения четырех
неизвестных.
д) Постоянные интегрирования находим с помощью начальных условий. Все нечетные постоянные интегрирования будут равны проекциям начальных скоростей на соответствующие координатные оси:
- проекция скорости на ось Ах1
- проекция скорости на ось Вх
- проекция скорости на ось Ву
В случае совпадения оси Ах1 с осью Вх
Все четные постоянные интегрирования
будут соответствовать началу координат
и
и будут равны 0
2.8. После определения постоянных интегрирования и получения:
уравнения, связывающего скорость в
со скоростью в
,уравнения для определения длины участка
,уравнения для определения ширины участка
,уравнения для определения высоты участка
можно приступить к вычислению своего варианта задания и к нахождению неизвестных.