§7. Вычеты и их применение к вычислению контурных интегралов

Пусть – конечная изолированная особая точка однозначной функции

Определение 1. Вычетом функции относительно точки называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством

(1)

где – положительно ориентированный замкнутый контур, лежащий в области аналитичности и содержащий внутри себя одну особую точку .

При обходе контура особая точка остается слева.

Из определения следует, что вычет функции равен коэффициенту при в лорановском разложении в окрестности точки :

(2)

Приведем формулы для вычета, позволяющие избежать разложения функции в ряд Лорана – процесс в общем случае громоздкий.

1. Если – простой полюс функции , то

(3)

причем если представима в виде отношения двух аналитических в точке функций где то

(4)

2. Если – полюс -го порядка то

(5)

3. Для устранимой особой точки

4. Для нахождения вычета относительно существенно особой точки необходимо найти коэффициент

Пример 1. Найдем вычет функции относительно полюса .

Так как является простым полюсом, то

.

Иначе этот вычет можно найти так:

Данная функция представима в виде где . Причем , , поэтому .

Пример 2. Найдем вычет функции относительно полюса .

Так как является полюсом четвертого порядка, то

.

Пример 3. Вычет функции относительно существенно особой точки равен –1.●

Пусть аналитична в некоторой окрестности точки кроме, может быть, самой бесконечно удаленной точки.

Определение 2.Вычетом функции относительно бесконечно удаленной точки называют величину

(6)

где – отрицательно ориентированный замкнутый контур, принадлежащий области аналитичности функции.

При обходе контура бесконечно удаленная точка остается слева.

Из определения следует, что вычет относительно равен коэффициенту при в лорановском разложении в окрестности взятому с противоположным знаком:

(7)

Между утверждениями (7) и (2), несмотря на их внешнее сходство, имеется существенное различие. Дело в том, что в разложении Лорана в окрестности точки член принадлежит правильной (а не главной) части ряда, и может быть отличным от нуля и тогда, когда аналитична в бесконечности.

Пример 4. Найдем вычет функции относительно точки .

Лорановское разложение данной функции имеет вид:

,

Так как коэффициент при равен 1, то .

Теорема 1. (Основная теорема Коши о вычетах). Если функция аналитична в области , за исключением изолированных особых точек то для любого замкнутого контура , охватывающего эти точки

. (8)

Основная теорема о вычетах имеет важное значение для приложений. Она позволяет вычислять интегралы по замкнутому контуру от функции комплексного переменного, не прибегая к первообразным или криволинейным интегралам. С помощью вычетов вычисляются определенные и несобственные интегралы от функций действительного переменного.

Пример 5. Вычислим интеграл , где .

Простые полюсы и находятся внутри контура , поэтому, применяя первую теорему о вычетах можно записать

.●

Теорема 2. Если функция аналитична в расширенной плоскости (т.е. включающей точку ), за исключением конечного числа изолированных особых точек то

(9)

или

. (10)

Пример 6. Вычислим интеграл , где .

Подынтегральная функция имеет десять простых полюсов , лежащих на единичной окружности. Лорановское разложение функции в окрестности бесконечно удаленной точки имеет вид

, .

Так как , то, применяя вторую теорему о вычетах можно записать .

Таким образом .●

12