§5. Ряды Тейлора и Лорана

Функция , однозначная и аналитическая в точке , разлагается в окрестности этой точки в степенной ряд

, (1)

коэффициенты которого определяются по формулам

или . (2)

Этот ряд называется рядом Тейлора для функции .

Радиус круга сходимости ряда Тейлора (1)-(2) равен расстоянию от точки до ближайшей к особой точки функции .

Приведем разложения в ряды Тейлора некоторых элементарных функции в окрестности точки .

,

, ,

, , (3)

, .

Функция , однозначная и аналитическая в кольце (не исключаются случаи, когда ), разлагается в этом кольце в обобщенный степенной ряд

, (4)

коэффициенты которого определяются по формулам

. (5)

Этот ряд называется рядом Лорана функции .

В формуле (4) называется главной частью ряда Лорана, а ряд называется правильной частью ряда Лорана.

Формула (5) неудобна для вычисления коэффициентов ряда Лорана, поэтому часто для разложения функции в ряд Лоран пользуются искусственными приемами, которые будут рассмотрены на примерах. Ряды Тейлора и Лорана функции определяются единственным образом. Эти ряды в области сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать.

§6. Изолированные особые точки функции комплексного переменного

В зависимости от проведения функции в окрестности особой точки различают три типа особенностей.

Изолированная особая точка функции называется:

а) устранимой особой точкой, если существует конечный предел

, (1)

б) полюсом, если , (2)

причем полюсом -го порядка, если

, (3)

и простым полюсом при ;

в) существенно особой точкой, если не существует (ни конечный, ни бесконечный).

Имеют место следующие утверждения:

1. Для того, чтобы изолированная особая точка функции была устранимой, необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение в окрестности точки не содержало главной части, т.е. имело вид

. (4)

2. Для того, чтобы изолированная особая точка функции была полюсом -го порядка, необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения содержала лишь конечное число членов

, . (5)

3. Для того, чтобы изолированная особая точка функции была существенно особой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения содержала бесконечно много членов.

Пример 1. Особой точкой функции является точка . Разложение этой функции в ряд Лорана имеет вид:

Так как главная часть отсутствует, то является устранимой особой точкой.

Пример 2. Особой точкой функции является точка . Разложение этой функции в ряд Лорана имеет вид:

Главная часть состоит из двух слагаемых, поэтому – полюс второго порядка.

Пример 3. Особой точкой функции является точка . Разложение этой функции в ряд Лорана имеет вид:

Главная часть разложения бесконечна, поэтому – существенно особая точка.●

Точка называется нулем функции , если . Точка называется нулем порядка , если

, а . (6)

Ряд Тейлора в окрестности точки – нуля порядка функции – имеет вид

Теорема. Для того, чтобы точка была нулем порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство

, (7)

где аналитична в точке и .

Для определения порядка нуля функции полезно помнить, что если нуль порядка для и нуль порядка для , то – нуль порядка для произведения , порядка (при ) для частного ; – правильная точка, не являющаяся нулем при и особая точка при .

Теорема. Для того, чтобы точка была полюсом порядка для функции , необходимо и достаточно, чтобы эта точка была нулем порядка для функции .

Рассмотрим особенности функции в бесконечно удаленной точке.

Под точкой понимают абстрактную точку плоскости , окрестностью которой, является множество чисел , удовлетворяющих неравенству , где – любое действительное положительное число.

Ряд Лорана функции в окрестности точки определяют с помощью замены переменной для функции в окрестности точки . Ряд Лорана в окрестности точки имеет вид

,

где главная часть,

правильная часть.

Поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки дает возможность классифицировать ее особенности в этой точке.

1. Точка называется устранимой особой точкой функции, если , где .

Ряд Лорана в этом случае не содержит положительных степеней

.

2. Точка называется полюсом функции, если .

Если ряд Лорана в окрестности содержит конечное число положительных степеней:

,

то точка называется полюсом порядка .

3. Точка называется существенно особой для функции, если не существует.

Ряд Лорана в этом случае содержит бесконечное число положительных степеней .

Заметим, что точка называется нулем порядка функции , если точка является нулем порядка для функции .